Un colector con $\pi_1 = \pi_2 = \pi_4 = 0, \pi_3 = \mathbb{Z}$

Question

Estoy buscando un ejemplo de un circuito cerrado conectado suave colector $M$$\pi_1(M) = \pi_2(M) = \pi_4(M) = 0$$\pi_3(M) = \mathbb{Z}$, si tal cosa existe.

Mi motivación es la de representar la tercera integral cohomology de un 4-colector $X$ (homotopy clases de mapas para algunos colector. Desde $S^1$$K(\mathbb{Z}, 1)$$\mathbb{CP}^\infty$$K(\mathbb{Z}, 2)$, $H^1(X ; \mathbb{Z}) = [X, K(\mathbb{Z}, 1)] = [X, S^1]$ y, por celular aproximación, $H^2(X;\mathbb{Z}) = [X, \mathbb{CP}^\infty] = [X, \mathbb{CP}^2]$. Por lo que podemos representar primera y segunda cohomology de $X$ por los mapas en los colectores; mi pregunta simplemente pregunta acerca de hacerlo para el siguiente nivel superior.

De hecho, si tuviéramos un colector $M$ satisfactorio $\pi_1(M) = \pi_2(M) = \pi_4(M) = 0$, $\pi_3(M) = \mathbb{Z}$, entonces podríamos formar un $K(\mathbb{Z}, 3)$ $M$ adjuntando 6-celdas y superior a matar a $\pi_5$ o superior. Así, tendríamos que el de cinco skeleta de estos dos espacios coinciden, $M^{(5)} = K(\mathbb{Z}, 3)^{(5)}$, y por lo tanto por celular aproximación $$[X, M] = [X, M^{(5)}] = [X, K(\mathbb{Z}, 3)^{(5)}] = [X, K(\mathbb{Z}, 3)] = H^3(X;\mathbb{Z}).$$

Si $M$ existe, su dimensión debe ser de al menos 8. De hecho, las primeras observar que $M$ es orientable, ya que es simplemente conexa.

Todas las superficies orientables han trivial $\pi_3$, a excepción de la esfera que tiene un no-trivial $\pi_2$, por lo que las normas de la dimensión 2.

2-conecta 3-colector es un homotopy esfera, por lo que esto descarta la dimensión 3 desde $\pi_4(S^3) = \mathbb{Z}_2$.

Hurewicz implica que $H_1(M;\mathbb{Z}) = H_2(M;\mathbb{Z}) = 0$$H_3(M;\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}$. La dualidad de Poincaré ahora muestra que $M$ no tiene dimensión 4 o 5.

Dado que la característica de Euler de una orientada a $4k+2$ dimensiones del colector es incluso, podemos descartar la dimensión 6 mediante la aplicación de la dualidad de Poincaré y el cálculo de la característica de Euler de un $M$ 1.

Hurewicz también nos dice que $\pi_4(M)$ surjects en $H_4(M;\mathbb{Z})$, lo $H_4(M;\mathbb{Z}) = 0$. Esto descarta $M$ 7 colector debido a la dualidad de Poincaré de nuevo.

Answer 1

De hecho, hay un $8$ dimensiones del colector que ha deseado homotopy grupos: La Mentira de grupo $SU(3)$.

De hecho, el resultado se sigue de Bott Periodicty. Más específicamente, para $U = \bigcup_n U(n)$, la unión de la central unitaria de grupos, de periodicidad de Bott muestra que $\pi_k(U)$ sólo depende de la paridad de $k$: al $k$ es aún, este grupo es isormphic a $\mathbb{Z}$, y al $k$ es impar, es trivial.

Pero a partir de la inclusión $U(3)\subseteq U$ es de al menos 5 conectados, por lo $\pi_k(U(3))\cong \pi_k(U)$$k\leq 4$. Por último, desde $SU(3)\times S^1\cong U(3)$, $SU(3)$ debe tener el derecho homotopy grupos.

Answer 2

Considere la posibilidad de la $n$-bola de $n$ grandes. Adjuntar un 3-manejar y llamar a la resultante del colector $M$. Debería ser relativamente fácil para ver el mapa de $\pi_4(\partial M) \to \pi_4(M)$ es surjective (una forma es haciendo girar el cobordism "al revés" y pensar acerca de la 3-manejar como una n-3 de la manija y el 0-manejar como una n-asa). Ahora coloque 5-controla a la frontera a lo largo de todos los generadores de $\pi_4(\partial M)$ (que puede ser representada sin problemas enmarcados incrustaciones de Whitney al $n$ es lo suficientemente grande).

Ahora, el resultado de manifold con frontera tiene una manija de descomposición (Morse función) con un 0-asa, uno de 3 mango y una de 5-asa (su fácil para ver el $\pi_4$ están matando en realidad es $\Bbb Z/2$), por lo que su doble tiene un 0-asa, uno de 3 mango, una de 5-asa, uno de los $n$-5 empuñadura $n$-3 mango y un $n$ mango. Para $n$ lo suficientemente grande, sólo las tres primeras asas afectarán a la deseada homotopy grupos.

Este es un argumento típico para construir compacto liso colectores con cualquier $k$-tipo que desee. Para tu caso, el más pequeño de $n$ donde este argumento funciona es $10$.