¿$f :\mathbb R \to \mathbb R$ ser una biyectiva Lebesgue mensurable función, entonces es $f^{-1}:\mathbb R \to \mathbb R$ Lebesgue mensurable?

Question

$f :\mathbb R \to \mathbb R$ Sea una biyectiva función medible Lebesgue, entonces es $f^{-1}:\mathbb R \to \mathbb R$ Lebesgue mensurable? Creo que no es cierto, pero no puedo encontrar ningún contraejemplo o cualquier camino a través. Por favor ayuda. Gracias de antemano

Nota: Cualquier ejemplo de contador mediante sistema mensurable de Lebesgue no me parece bien

Answer 1

El intervalo de $(0,1/4]$ contiene un nonmeasurable subconjunto (es decir, no Lebesgue medibles subconjunto). La unión de este conjunto con $(1/4,1/2]$ es entonces un nonmeasurable subconjunto $E$ $(0,1/2]$ que tiene cardinalidad $c.$

Deje $K_1,K_2$ ser dos distintos conjuntos de Cantor, cada una de un subconjunto de a $(0,1),$ tener medir el $0.$ Cada uno de estos tiene cardinalidad $c.$ tenga en cuenta que $(0,1)\setminus E$ también tiene cardinalidad $c.$ por Lo tanto existe un bijection $f: K_1\cup K_2 \to (0,1)$ con $f(K_1) = E,$ $f(K_2)=(0,1)\setminus E.$

Podemos extender $f$ $K_1\cup K_2 \cup\mathbb Z$ definiendo $f(n) = n$ por cada $n\in \mathbb Z.$ tenga en cuenta que hasta el momento sólo hemos definido $f$ sobre un conjunto (un conjunto de Borel en realidad) de medida $0.$ Esto, por supuesto, no puede hacer daño a Lebesgue de la mensurabilidad de alguna manera como nos movemos hacia la definición de $f$ sobre todo $\mathbb R$ (a pesar de que podría simular Borel mensurabilidad).

Adelante: $K_1\cup K_2 \cup \mathbb Z$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb R.$ por tanto, su complemento es la de a pares distintos de la unión de countably muchas intervalos de $I_1,I_2, \dots.$ La idea es asignar cada una de $I_1,I_3,I_5, \dots$ bijectively en $(-1,0),(-2,-1),(-3,-2),\dots$ respectivamente. Esto se puede hacer con homeomorphisms. Mismo con $I_2,I_4,I_6, \dots$ y los intervalos de $(1,2),(2,3),(3,4),\dots.$ Elija lo que homeomorphisms usted como para esto.

Ahora tenemos $f$ se define como un bijection de $\mathbb R$ $\mathbb R.$Y es Lebesgue medible, como se debe verificar.

Es $f^{-1}$ Lebesgue medible? Si lo fuera, entonces $(f^{-1})^{-1}= f$ tomaría conjuntos de Borel de Lebesgue medibles conjuntos. Pero, como hemos visto, $f(K_1) = E,$ $E$ no es Lebesgue medible.