Una pregunta sobre los números de Euclides ' s prueba de infinitud de números primos

Question

Observar esta lista: $$ \begin{aligned} 2+1&=3\\ 2\cdot3+1&=7\\ 2\cdot3\cdot5+1&=31\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7+1&=211\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11+1&=2311\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13+1&=59\cdot509\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17+1&=19\cdot97\cdot277\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19+1&=347\cdot27953\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot23+1&=317\cdot703763\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29+1&=331\cdot571\cdot34231\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29\cdot31+1&=200560490131\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29\cdot31\cdot37+1&=181\cdot60611\cdot676421\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29\cdot31\cdot37\cdot41+1&=61\cdot450451\cdot11072701\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29\cdot31\cdot37\cdot41\cdot43+1&=167\cdot78339888213593 \end{aligned} $$ Es cierto que todos los factores primos de ocurrir con la multiplicidad uno en esta lista?

(Tenga en cuenta que si uno multiplica números primos consecutivos no a partir de 2 y agrega 1, hay muchos ejemplos de multiplicidades mayor que uno.)

Otra pregunta, probablemente, mucho más difícil de responder: hay seis números primos en esta lista, el último de $2\cdot3\cdot...\cdot31+1$. He comprobado hasta $2\cdot3\cdot...\cdot227+1$ no existen números primos, el número de factores primos crece lentamente (es la primera vez que los 5 factores que producen es en $2\cdot3\cdot...\cdot127+1$, por primera vez 6 factores que producen es en $2\cdot3\cdot...\cdot137+1$, la primera vez 7 factores que se producen en $2\cdot3\cdot...\cdot211+1$).

Hay más números primos en esta lista?

Answer 1

Hay más números primos de Euclides, pero que todavía no sabe si hay infinitamente muchos. Es simplemente conjetura, así como de todos los números de Euclides que squarefree: https://oeis.org/A006862

Answer 2

El producto de la primera $75$ primos, más $1$, es primer. (Que es número $171962010545840643348334056831754301958457563589574256043877$ $110505832165523856261308397965147955578800999455782202456522$ $6932906295208262756822275663694111$.)

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(Entendido mal la pregunta en este punto. El cartel quiere saber si cualquier primer aparece más de una vez en cualquier entrada dada de la secuencia, no en cualquier par de entradas de la secuencia.)

$277$ es un factor del número séptimo ($510511$) y XVII ($1922760350154212639071$).