Voy a pedir disculpas por adelantado; yo tal vez en algunos puntos de decir en series de Taylor en lugar de la serie de Maclaurin.
OK, así que backstory: Mi clase de cálculo recientemente fue a través de series de Taylor y los polinomios de Taylor. Parecía básica suficiente. Mediante la prueba de razón de que fueron capaces de demostrar que el radio de convergencia de estas series. Por ejemplo, se deriva que:
$$ e^x = \sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!} $$
mediante la prueba de razón podemos encontrar que la serie converge $\forall x$
Sin embargo, hoy hemos tenido un sustituto de la que hablaba acerca de Taylor teorema y la fórmula de Taylor define como la suma de una $n$th el polinomio de Taylor de orden más el resto.
$$ f(x) = P_n(x) + R(x) $$ $$ R(x) = \dfrac{f^{n+1}(c)(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} $$
El profesor sustituto, a continuación, nos dijo que con el fin de demostrar que el polinomio de Taylor converge a la función original, usted debe demostrar que $$ \lim_{n\rightarrow\infty}R(x)=0 $$
Bueno, después de esta declaración, las compuertas se abrieron con un par de estudiantes preguntando por qué no se puede utilizar la prueba de razón de mostrar la serie de Taylor converge $\forall x$, al igual que hicimos para $e^x$.
El sustituto dijo que la prueba de razón de sólo demostró la convergencia, mientras que esta demostrado es convergente a la función real. A continuación, los estudiantes dijo que si ya hemos demostrado que la serie de Taylor es la función en una cantidad infinita de puntos, si la serie converge, ¿eso no significa que converge a la función?
Ya habíamos hecho un ejemplo previamente en clase, donde: $$ f(x)=\begin{cases} 0,&\text{ if }x=0;\\ e^{-\frac{1}{x^2}},&\text{ if }x\neq 0. \end{casos} $$
Esta función es un polinomio de Taylor converge a 0 en cada punto. Sin embargo, no converge a la función en cada punto.
Mis compañeros de clase dijo que este era un "cop-out" y "no contar" porque era una función definida a tramos. Entonces, ¿hay un ejemplo de una función cuyo polinomio de Taylor converge en un intervalo, pero no converge a la función enteramente en dicho intervalo?
También una prueba de que sería genial si se pudiera explicar por qué los estudiantes o el profesor, estaban equivocados.