¿Coloque un argumento de aula - allí existe las funciones que satisfacen esta propiedad que involucran polinomios de Taylor?

Question

Voy a pedir disculpas por adelantado; yo tal vez en algunos puntos de decir en series de Taylor en lugar de la serie de Maclaurin.

OK, así que backstory: Mi clase de cálculo recientemente fue a través de series de Taylor y los polinomios de Taylor. Parecía básica suficiente. Mediante la prueba de razón de que fueron capaces de demostrar que el radio de convergencia de estas series. Por ejemplo, se deriva que:

$$ e^x = \sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!} $$

mediante la prueba de razón podemos encontrar que la serie converge $\forall x$

Sin embargo, hoy hemos tenido un sustituto de la que hablaba acerca de Taylor teorema y la fórmula de Taylor define como la suma de una $n$th el polinomio de Taylor de orden más el resto.

$$ f(x) = P_n(x) + R(x) $$ $$ R(x) = \dfrac{f^{n+1}(c)(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} $$

El profesor sustituto, a continuación, nos dijo que con el fin de demostrar que el polinomio de Taylor converge a la función original, usted debe demostrar que $$ \lim_{n\rightarrow\infty}R(x)=0 $$

Bueno, después de esta declaración, las compuertas se abrieron con un par de estudiantes preguntando por qué no se puede utilizar la prueba de razón de mostrar la serie de Taylor converge $\forall x$, al igual que hicimos para $e^x$.

El sustituto dijo que la prueba de razón de sólo demostró la convergencia, mientras que esta demostrado es convergente a la función real. A continuación, los estudiantes dijo que si ya hemos demostrado que la serie de Taylor es la función en una cantidad infinita de puntos, si la serie converge, ¿eso no significa que converge a la función?

Ya habíamos hecho un ejemplo previamente en clase, donde: $$ f(x)=\begin{cases} 0,&\text{ if }x=0;\\ e^{-\frac{1}{x^2}},&\text{ if }x\neq 0. \end{casos} $$

Esta función es un polinomio de Taylor converge a 0 en cada punto. Sin embargo, no converge a la función en cada punto.

Mis compañeros de clase dijo que este era un "cop-out" y "no contar" porque era una función definida a tramos. Entonces, ¿hay un ejemplo de una función cuyo polinomio de Taylor converge en un intervalo, pero no converge a la función enteramente en dicho intervalo?

También una prueba de que sería genial si se pudiera explicar por qué los estudiantes o el profesor, estaban equivocados.

Answer 1

En primer lugar, sí, en términos prácticos, es muy difícil de definir (indefinidamente diferenciable) funciones que no son analíticas, excepto por hacerlo a trozos. Eso es básicamente porque todos los habituales de "piezas" son en sí mismos analítica en el interior de la región donde convergen. Este sí es un artefacto de nuestra historia en este tema. De hecho, algunos de los más exóticos (pero estándar para 100+ años) son funciones no analítica... pero su definición depende de los procedimientos más complicados, por lo que probablemente no sería muy satisfactorio.

Un secundario, pero importante, es que prueben que la de Taylor-Maclaurin de la serie de una función en algún punto infinito radio de convergencia (o cualquier otro radio de convergencia $>0$) sí no en sí mismo, demostrar que la cosa converge a la función cuya Taylor-Maclaurin de la serie es. Más bien, los términos de error debe ir a cero. Por supuesto, desde nuestro punto de vista, se necesita un esfuerzo considerable para organizar infinito radio de convergencia, pero los términos de error no se va a cero de nuevo ... porque debemos producir una exótica/onu-función natural (de nuestro artefactos punto de vista) de una manera o de otra, ya que "natural" (indefinidamente diferenciable) funciones parecen ser analítico.

Históricamente, de hecho, muchas personas (Euler, Lagrange) contados a trozos funciones definidas como artificial, y no de funciones reales. A veces, la propia definición de "función" (en aquellos días) era que la cosa era representable por una potencia de la serie. Y, dado que la mayoría de las funciones elementales que nos encontramos tiene tales representaciones (que a menudo requiere la prueba... pero a veces la ignorancia es la felicidad), suponiendo ingenuamente que "todas" las funciones tienen esas expansiones no inmediatamente conducir al desastre... y, de hecho, está maravillosamente eficaz, debido a que es una suposición correcta en muchos contextos.

Answer 2

Esto no es bastante su pregunta, pero tal vez a aclarar cierta confusión: Let $f(x) = \frac{1}{1-x}$ que tiene Maclauren serie $1+x+x^2+x^3+\cdots.$ la prueba de proporción muestra donde la serie converge, (no se si la serie converge) es decir $-1<x<1$, pero tenga en cuenta que la serie no converge a la función si $x\geq 1$.

El sub tiene razón al decir que tienes que demostrar $R(x) \to 0.$ la prueba de razón es una forma de averiguar donde eso sucede.

Answer 3

Respuesta corta: el profesor es correcto como se muestra en su ejemplo.

Hay un resultado muy lindo que dice que dada cualquier secuencia de números verdaderos $a_n$ allí existe una función lisa $f$ con estos como su serie de Taylor.

$$ | f (x) - \sum \limits_{j < n} a_j x ^ j | \leq C_n | x | ^ n $$ cerca de 0.

Así podríamos tener $a_j = j^j$ y todavía conseguir una serie de Taylor. La serie convergerían en ninguna parte sin embargo.