¿Por qué tomamos la raíz cuadrada de la varianza para crear la desviación estándar?

Question

Disculpas si esto ha sido respondido en otro lugar, no he podido encontrarlo.

Me pregunto por qué tomamos la raíz cuadrada, en particular, de la varianza para crear la desviación estándar. ¿Qué tiene de especial tomar la raíz cuadrada que produce un valor útil?

Answer 1

En algún sentido, esta es una pregunta trivial, ¡Pero en otro sentido, en realidad es bastante profunda!

• Como otros han mencionado, tomar la raíz cuadrada implica que $\operatorname{Stdev}(X)$ tiene las mismas unidades que $X$.

• Tomar la raíz cuadrada te da homogeneidad absoluta también conocida como escalabilidad absoluta. Para cualquier escalar $\alpha$ y variable aleatoria $X$, tenemos: $$ \operatorname{Stdev}[\alpha X] = |\alpha| \operatorname{Stdev}[X]$$ Homogeneidad absoluta es una propiedad requerida de una norma. La desviación estándar se puede interpretar como una norma (en el espacio vectorial de variables aleatorias con media cero) de manera similar a como $\sqrt{x^2 + y^2+z^2}$ es la norma euclidiana estándar en un espacio tridimensional. La desviación estándar es una medida de distancia entre una variable aleatoria y su media.

Desviación estándar y la norma $L_2$

Caso de dimensión finita:

En un espacio vectorial dimensional $n$, la norma euclidiana estándar también conocida como la $L_2$ norma se define como:

$$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{\sum_i x_i^2}$$

De manera más amplia, la $p$-norma $\|\mathbf{x}\|_p = \left(\sum_i |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}$ toma la raíz $p$ para obtener homogeneidad absoluta: $\|\alpha \mathbf{x}\|_p = \left( \sum_i |\alpha x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = | \alpha | \left( \sum_i |x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = |\alpha | \|\mathbf{x}\|_p $.

Si tienes pesos $q_i$ entonces la suma ponderada $\sqrt{\sum_i x_i^2 q_i}$ también es una norma válida. Además, es la desviación estándar si $q_i$ representan probabilidades y $\operatorname{E}[\mathbf{x}] \equiv \sum_i x_i q_i = 0$

Caso de dimensión infinita:

En un Espacio de Hilbert infinito dimensional también podemos definir la $L_2$ norma:

$$ \|X\|_2 = \sqrt{\int_\omega X(\omega)^2 dP(\omega) }$$

Si $X$ es una variable aleatoria con media cero y $P$ es la medida de probabilidad, ¿cuál es la desviación estándar? Es la misma: $\sqrt{\int_\omega X(\omega)^2 dP(\omega) }$.

Resumen:

Tomar la raíz cuadrada significa que la desviación estándar cumple con la homogeneidad absoluta, una propiedad requerida de una norma.

En un espacio de variables aleatorias, $\langle X, Y \rangle = \operatorname{E}[XY]$ es un producto interno y $\|X\|_2 = \sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$ la norma inducida por ese producto interno. Así que la desviación estándar es la norma de una variable aleatoria sin media: $$\operatorname{Stdev}[X] = \|X - \operatorname{E}[X]\|_2$$ Es una medida de la distancia desde la media $\operatorname{E}[X]$ hasta $X$.

(Punto técnico: mientras que $\sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$ es una norma, la desviación estándar $\sqrt{\operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]}$ no es una norma sobre variables aleatorias en general porque un requisito para un espacio vectorial normado es $\|x\| = \mathbf{0}$ si y solo si $x = \mathbf{0}$. Una desviación estándar de 0 no implica que la variable aleatoria sea el elemento cero.)

Answer 2

La varianza de $X$ se define como $V(X) = E(X-E(X))^2$, por lo que es una expectativa de la diferencia al cuadrado entre X y su valor esperado.

Si $X$ es el tiempo en segundos, $X-E(X)$ está en segundos, pero $V(X)$ está en $\mbox{segundos}^2$ y $\sqrt{V(X)}$ está de nuevo en segundos.

Answer 3

La respuesta simple es que las unidades están en la misma escala que la media. Por ejemplo: Estimo que la media para los estudiantes de secundaria es de 160 cm con una desviación estándar (DE) de 20 cm. Es intuitivamente más fácil tener una idea de la variación con la DE que con la varianza de 400 cm^2.

Answer 4

En términos más simples, la desviación estándar está diseñada para darnos un número positivo que indique algo sobre la dispersión de nuestros datos alrededor de su media.

Si simplemente sumáramos las distancias de todos los puntos respecto a la media, entonces los puntos en direcciones positivas y negativas se combinarían de manera que tienden a gravitar de regreso hacia la media y perderíamos información sobre la dispersión. Por eso medimos la varianza primero, para que todas las distancias se conserven como cantidades positivas a través del cuadrado y no se cancelen entre sí. Al final, queremos obtener un valor positivo que represente las unidades con las que comenzamos, como se mencionó anteriormente, por lo que tomamos la raíz cuadrada positiva.

Answer 5

Es una estupidez histórica que continuamos debido a la pereza intelectual. Optaron por elevar al cuadrado las diferencias respecto a la media para deshacerse del signo negativo. Luego tomaron la raíz cuadrada para llevarlo a una escala similar a la media.

Alguien debería generar nuevas estadísticas, calculando la varianza y la desviación estándar utilizando el módulo o los valores absolutos de la desviación respecto a la media. Esto eliminaría toda esta cuestión de elevar al cuadrado y luego tomar la raíz cuadrada.