¿Hay algo fundamental que no triviales para resolver integrales?

Question

Primero de todo, pido disculpas si este no es el foro adecuado.

La cosa con los derivados es que una vez que aprenda producto/cociente/regla de la cadena y de las fórmulas de trigonometría/exponencial/funciones logarítmicas, usted puede tomar la derivada de cualquier función (como lo que puedo decir).

Con las integrales, los métodos para problemas son mucho más complejos, con u-sub, integración por partes, parcial fracción de descomposición, etc. Y luego tienes las ecuaciones como $\int \sqrt{\sin x\cos x}dx$ cuales son fáciles de escribir , pero imposible de resolver en términos de funciones elementales. ¿Tiene esto algo que ver con el teorema fundamental del cálculo, y de cómo la integral se define como el área bajo una curva, o algo más?

Estoy solo en Calc II ahora, así que es posible que voy a aprender más acerca de por qué esto es más tarde en mis matemáticas "programar".

Answer 1

Eso es algo que una vez me preguntaba a mí mismo. Y todavía me preguntan sobre ello. Pero podemos obtener una idea de por pensar en algo similar.

Pensar acerca de la cuadratura de la función $n \mapsto n^2$ para enteros positivos. Cada vez que nos cuadrado de un entero positivo, siempre tenemos algo de la misma clase de la espalda (es decir, otro entero positivo). No sólo eso, sino que el conjunto de los cuadrados es un subconjunto del conjunto de los números enteros, por lo que, en cierto sentido, el cuadrado de la función nos lleva de un espacio más grande en un espacio más pequeño (desde el set $\{1,2,3,...\}$ para el conjunto de $\{1,4,9,...\}$).

Así que a la hora de definir la inversa del cuadrado de la función (la raíz cuadrada) a través de los enteros positivos, a veces podemos obtener el mismo tipo de la espalda ($4 \mapsto 2$), pero no si estamos tratando de tomar la raíz cuadrada de algo que no está en el espacio más pequeño de los cuadrados perfectos. $\sqrt{2}$ no puede ser expresado como un número entero, como $\int \sqrt{\sin x \cos x} \, dx$ no puede ser expresado en términos de funciones elementales.

Asimismo, los derivados tome las cosas desde el espacio de funciones elementales, y asignarlos a un espacio más pequeño (el conjunto de funciones elementales cuya antiderivatives también son de primaria).

Usted puede ver este comportamiento muchas veces siempre recíproca. La multiplicación se toman enteros a enteros, pero la división a veces no, dando lugar a la racional números. Además de los mapas enteros positivos a los enteros positivos, pero la resta no siempre, dando lugar a la negativa de los números. La diferenciación de los mapas de funciones elementales de funciones elementales, pero las integrales no tienen.

Answer 2

Para un simplificada pero la satisfacción de perspectiva, pensar acerca de los nudos. Por lo general es bastante fácil tomar un trozo de cuerda y giro y empatar en un fuerte, voluminoso nudo. Conseguir que hacer... esa es otra historia. Uno se puede generalizar a este escenario a muchas partes de las matemáticas. Procesos inversos son generalmente más complejo y difícil que el de sus contrapartes. Por ejemplo, puede ser bastante fácil de juguete con funciones elementales y venir para arriba con un horrible aspecto, pero fácilmente por escrito y invertible función sin mucho trabajo; pero encontrar la fórmula explícita para la inversa es otra historia. Anti diferenciación es el proceso inverso (si se quiere) de la diferenciación. Usted puede juguete alrededor de todo el día y venir para arriba con algunas bastante horrible funciones que han antiderivatives, pero encontrarlos puede ser un dolor. Espero que esto sea algo satisfactorio, incluso si no es muy riguroso.

Answer 3

Esta pregunta me interesa emough que me hacen hacer un poco de búsqueda y enlace siguiente. TL;DR: no hay, y es la de Turing Detener problema!

Fiest he encontrado este MODO respuesta: ¿Cómo se puede demostrar que una función no tiene cerrado de forma integral? , que es casi una expansión de lo que se WB-hombre explica muy simplemente el anterior, pero de manera más formal. Y luego he encontrado la respuesta, actualmente el cuarto hacia abajo, apuntando a que el Algoritmo de Risch https://en.wikipedia.org/wiki/Risch_algorithm

Así que: existe un algoritmo que puede obtener un anti-derivada en tiempo finito. Pero no es un verdadero algoritmo en que puede fallar para terminar (halt), por lo que no nos dicen nada acerca de la posible no existencia de la forma cerrada de la anti-derivada.