Distributividad de subespacios

Question

Tengo que dar una prueba o encontrar un contraejemplo a una declaración:

$$L+(M∩N) = (L + M)∩(L + N)$$

Donde $L$, $M$, $N$ son subespacios del espacio vectorial $V$. Que pude hacer a prueba de $LHS⊆RHS$, pero estoy atrapado con atrás prueba. Estaría realmente agradecido si alguien me pudiera ayudar hacia fuera.

Answer 1

Tomar $M=\mathbb R\times\{0\}$ y $N=\{0\}\times \mathbb R$. Luego ajuste $L = \ {(x,x) | x\in\mathbb R\} $

---

Entonces, $M\cap N=\{(0,0)\}$ (debería ser obvio por qué) lo que significa que el lado izquierdo es igual a $L+\{0\}=L$.

Pero $L+M = L+N = \mathbb R^2$ (esto debería ser fácil de probar), lo que significa que el lado derecho es igual a $\mathbb R^2\cap \mathbb R^2 = \mathbb R^2$.

---

Desde $L\neq \mathbb R^2$, claramente, no se tiene la igualdad, y sólo puede concluir que el $LHS\subseteq RHS$.