¿Puede eigenstates de un espacio de Hilbert considerarse funciones delta?

Question

Decir que tenemos un observable que describe un espacio de Hilbert y eso observable actúa en mercados del estado. Permite tomar el observable posición por ejemplo. Entonces $\langle y|x\rangle = \delta(y - x)$. ¿Pero pueden los eigenstates del observable posición individualmente considerarse funciones delta? $$ A |x\rangle = x'|x\rangle $$

¿Es este $|x\rangle$ individiually una función delta cosecha $x'$ de $A$? ¿Esto no implica también que tenemos un número infinito de eigenstates de la función delta en el espacio observable?

Answer 1

Pero, ¿puede el autoestados de la posición observables de forma individual pensamiento de como funciones delta?

Sí se puede, en un sentido, pero es bastante impreciso. En primer lugar, las tfe y funciones(distribuciones) son algo diferentes cosas a pesar de que comparten la mayoría de sus propiedades. Si el ket $|x'\rangle $ satisface $$ \hat{x} |x'\rangle = x' |x'\rangle, $$ luego nos dicen que este ket es autovector generalizado de que el operador $\hat x$.

Este ket puede ser representado en el espacio de las distribuciones de coordinar $x$ delta de distribución que se encuentra en $x'$, ya que en sentido distributivo $$ x \delta(x-x') = x'\delta(x-x'), $$ que tiene la misma estructura que la ecuación anterior. La diferencia entre estas dos ecuaciones es que la primera se afirma sin el uso de ningún tipo especial de coordenadas; ni $x$ ni $p$ es utilizado. La segunda utiliza coordinar $x$. Así tfe y distribuciones no son la misma cosa; las tfe puede ser pensado como "coordinar" libre de notación para las distribuciones.

Breve nota para el uso de la palabra "eigenstate" en este contexto: delta distribución no es normalizable y por lo tanto no pertenece al conjunto de las distribuciones de describir el estado físico en el sentido de que el Nacido de la interpretación. Así que no es muy bueno para llamar o de la correspondiente ket $|x'\rangle$ un eigenstate de la posición del operador. Es mejor llamar "inapropiado eigenfunction" o "incorrecto vector propio".

No esto también implica que tenemos un número infinito de función delta de autoestados en la observación del espacio?

Hay un número infinito de diferentes delta distribuciones definidas en $x$. Pero ellos no son "estados", que no pertenecen al espacio de Hilbert $L^2(R)$.

Answer 2

En general, se asume que el $\mathcal{H}$ es un espacio de Hilbert separable y que $A:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ es un operador lineal. El espacio de hilbert $\mathcal{H}$ son separables, admite una contables de base, que podemos escribir como $\eta_i$ $i\in\mathbb{Z}$ (estos no son necesariamente los $\delta$ funciones de la que hablas, pero $\mathcal{H}$ son separables es isomorfo a $\ell^2(\mathbb{Z})$, en cuyo caso cada una de las $\eta_i$ pueden ser mapeadas a $\delta_j\in\ell^2(\mathbb{Z})$, donde $\delta_j$, $j\in \mathbb{Z}$, son honestos $\delta$ funciones.

Supongamos ahora que $A$ admite vectores propios $e_j\in \mathcal{H}$, $j\in\mathbb{Z}$, tal que el siguiente es satisfecho.

1) $\{e_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$ son linealmente independientes (en el sentido de que cualquier finito subconjunto, forma un conjunto de vectores linealmente independientes.

2) $\{e_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$ es completa en el sentido de que el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos de $\{e_j\}$ forma un subconjunto denso de $\mathcal{H}$.

Entonces podemos ver que $\{e_j\}$ formas una completa bases de $\mathcal{H}$. Después de la normalización de cada una de las $e_j$ (o podemos suponer que ya se han normalizado) ahora podemos unitarily mapa de todo a $\ell^2(\mathbb{Z})$, mediante la asignación de $e_j$ a $\delta_j$. Esto es posible si y sólo si las condiciones (1) y (2) son satisfechos.

En otras palabras: cada operador lineal sobre un espacio de Hilbert separable puede ser unitarily asignada a un operador en $\ell^2(\mathbb{Z})$. En este caso, si el operador reconoce un conjunto de vectores propios que forma una base completa, luego de este conjunto pueden ser mapeadas a honesto delta-funciones de $\ell^2(\mathbb{Z})$.

Por supuesto, si la condición (2) es relajado, entonces uno puede en lugar de considerar un subespacio de la original espacio de Hilbert, que es el cierre del conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de los vectores propios. El operador también tiene que estar acotada (equivalentemente, continuo), el paso de un subconjunto denso para su cierre.

Answer 3

Bueno, por lo general observable actuando en $|x\rangle$ no le dará $x' |x\rangle$. Sólo la posición del operador, que actúan sobre el estado de $|x'\rangle$ nos dará $x'|x'\rangle$, donde x' es una etiqueta para el estado, pensar en él como un número, no una variable. Sólo porque el estado $|x'\rangle$ es un eigenstate de la posición del operador, no significa necesariamente que un eigenstate de cualquier otro operador general.

$|x'\rangle$ es un estado, queremos que sea una posición eigenstate. Lo que significa es que si tengo una partícula en el estado $|x'\rangle$, entonces la función de onda se escribe como una función de la posición que mejor ven como una función delta alrededor del punto de $x'$. Pero recuerda que yo también podría escribir la función de onda como una función de impulso o de algún otro operador. La declaración de

$$ \langle y|x \rangle = \delta(x-y) $$

dice exactamente eso. Pensar acerca de $\langle y|$ como una función que toma un vector y le da un número, ese número es el valor de la función de onda del estado representado por $|x'\rangle$ escrito como una función de la posición en el punto de $x'$.

Si queremos pensar que el espacio es continuo, entonces vamos a necesitar todos los puntos para ser un eigenstate de la posición del operador. Así que como hay infinitos puntos del espacio en la física clásica, existen infinidad de función delta de autoestados de la posición del operador en la mecánica cuántica. Pero en la mecánica cuántica piensa usted de la función $y(x)$ lugar en términos de los vectores, de modo que notationally

$$y(x) = \langle y | x \rangle .$$

A la derecha, es por eso que podemos utilizar la notación de dirac para hablar acerca de las funciones.