Una pregunta sobre los procesos de Poisson

Question

Lectura del libro "Brownian Motion & Stochastic Calculus" de Karatzas y Shreve, encontré el siguiente ejercicio (problema 3.9, página 15):

Sea $ \ N \ $ sea un proceso poisson con intensidad $ \lambda > 0 $ (esto significa, en particular, que $ N_t $ es poisson- $\lambda t$ -distribuido, es decir $ P(N_t = k ) = \exp(-\lambda t) \frac{(\lambda t)^k}{k!}, \ \forall \ k \geq 0$ )

Utiliza la aproximación de Stirling para demostrar que $\ \lim_{t \to \infty} (1/\sqrt{\lambda t} ) \ E( N_t - \lambda t )^+ = \frac{1}{2 \pi}$ .

Tratando de probar la afirmación, empecé así:

$$ \frac{1}{\sqrt{\lambda t}} E( N_t - \lambda t )^+ = \frac{1}{\sqrt{\lambda t}} \exp(-\lambda t) \ \sum_{k \geq \lambda t} \ (k - \lambda t) \frac{(\lambda t)^k}{k!} $$ $$ \approx \frac{1}{\sqrt{\lambda t}} \exp(-\lambda t) \ \sum_{k \geq \lambda t} \ (k - \lambda t) \frac{(\lambda t)^k}{\sqrt{2 \pi k} \left( \frac{k}{e} \right) ^k}$$

¿Alguien sabe cómo terminar la prueba?

Muchas gracias por su ayuda. Saludos, Si

Answer 1

Tenemos \begin{align*} \frac 1{\sqrt{\lambda t}}E(N_t-\lambda t)^+&=\frac{e^{-\lambda t}}{\sqrt{\lambda t}}\sum_{k=\lfloor \lambda t\rfloor+1}^{+\infty}\frac{(\lambda t)^k}{k!}(k-\lambda t)\\ &=\frac{e^{-\lambda t}}{\sqrt{\lambda t}}\left(\sum_{k=\lfloor \lambda t\rfloor+1}^{+\infty}\frac{(\lambda t)^k}{k!}k-\sum_{k=\lfloor \lambda t\rfloor+1}^{+\infty}\frac{(\lambda t)^k}{k!}(\lambda t)\right)\\ &=\frac{e^{-\lambda t}}{\sqrt{\lambda t}}(\lambda t)\left(\sum_{k=\lfloor \lambda t\rfloor+1}^{+\infty}\frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!}-\sum_{k=\lfloor \lambda t\rfloor+1}^{+\infty}\frac{(\lambda t)^k}{k!}\right)\\ &=\frac{e^{-\lambda t}}{\sqrt{\lambda t}}(\lambda t)\left(\sum_{j=\lfloor \lambda t\rfloor}^{+\infty}\frac{(\lambda t)^j}{j!}-\sum_{j=\lfloor \lambda t\rfloor+1}^{+\infty}\frac{(\lambda t)^j}{j!}\right)\\ &=\sqrt{\lambda t}e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{\lfloor \lambda t\rfloor}}{\lfloor \lambda t\rfloor !}, \end{align*} y utilizando la aproximación de Stirling obtenemos \begin{align*} \frac 1{\sqrt{\lambda t}}E(N_t-\lambda t)^+&\overset{t\to\infty}{\sim}\sqrt{\lambda t}e^{-\lambda t}(\lambda t)^{\lfloor \lambda t\rfloor}\left(\frac e{\lfloor \lambda t\rfloor}\right)^{\lfloor \lambda t\rfloor}\frac 1{\sqrt{2\pi \lfloor \lambda t\rfloor}}\\ &=\sqrt{\frac{\lambda t}{\lfloor \lambda t\rfloor}}\exp\left(\lfloor \lambda t\rfloor-\lambda t+\lfloor \lambda t\rfloor\ln \frac{\lambda t}{\lfloor \lambda t\rfloor}\right)\frac 1{\sqrt{2\pi}}. \end{align*} Sea $f(t)$ la parte fraccionaria de $\lambda t$ y $F(t)=\lfloor \lambda t\rfloor$ \begin{align*} \frac 1{\sqrt{\lambda t}}E(N_t-\lambda t)^+&\overset{t\to\infty}{\sim}\frac 1{\sqrt{2\pi}} \sqrt{1+\frac{f(t)}{F(t)}}\exp\left(-f(t)+F(t)\ln\left(1+\frac{f(t)}{F(t)}\right)\right), \end{align*} y puesto que $$-f(t)+F(t)\ln\left(1+\frac{f(t)}{F(t)}\right)=-f(t)+f(t)+f(t)o(1)=f(t)o(1),$$ y $\lim_{t\to+\infty}\frac{f(t)}{F(t)}=0$ finalmente obtenemos $$\lim_{t\to\infty}\frac 1{\sqrt{\lambda t}}E(N_t-\lambda t)^+=\frac 1{\sqrt{2\pi}}.$$