Tal y como indica el título, ¿cuál es el punto principal del axioma de elección? No entiendo muy bien lo que está escrito en el axioma. El axioma que conozco es:
Dada cualquier colección de conjuntos no vacíos, existe una función de elección tal que $$f:I \rightarrow \bigcup_i{S_i}\quad f(i)\in S_i \quad\text{for all }\; i\in I.$$
El objetivo del axioma de elección es que a menudo un matemático se encuentra en un punto en el que hay que reunir infinitos objetos específicos a la vez para continuar con una prueba/construcción.
En el enunciado dado, tenemos una familia de conjuntos no vacíos $\{ A_i : i \in I \}$ y queremos elegir un único representante de cada $A_i$ Esta es nuestra función $f : I \to \bigcup_{i \in I} A_i$ ( $f$ "picos" $f(i)$ para ser el único representante de $A_i$ ). El axioma de elección dice que esto no es problemático, y nosotros siempre puede hacer esto.
Por supuesto, hay ciertos casos específicos en los que se puede hacer esto sin apelar al axioma de elección:
Lo más frecuente es que no haya forma de elegir uniformemente a estos representantes, y sin apelar a alguna hipótesis extra-lógica no podemos hacer las elecciones que se requieren.
(Se sabe que hay muchos enunciados equivalentes al axioma de elección. El más común que se ve en las matemáticas fuera de la teoría de la lógica/conjuntos es Lemma de Zorn .)
El axioma de elección establece que cuando se da una familia de conjuntos no vacíos, podemos elegir un elemento de cada conjunto. De ahí el nombre de axioma de elección.
Es útil porque nos permite controlar el comportamiento de infinitos objetos. Garantiza que podamos demostrar la existencia de cosas que, de otro modo, podrían requerir un enunciado infinitamente largo, por ejemplo, una base de Hamel para cada espacio vectorial.
Cuando escribimos una prueba sobre una colección infinita de objetos, a veces queremos hacer una elección arbitraria entre ellos y simplemente "correr con ella". Es posible hacer esa elección menos arbitraria, por ejemplo si hablamos de conjuntos finitos de números reales siempre se puede tomar el elemento mínimo; o si hablamos de funciones continuas de un intervalo compacto a $\mathbb R$ se puede hablar del punto más pequeño que alcanza el valor máximo.
Cuando se tiene una manera uniforme de hacer una elección, es decir, un "algoritmo" que asegura que se haga una elección, entonces realmente no se necesita el axioma de elección. El axioma de elección proporciona este método cuando no se puede demostrar que existe de otra manera.
Más información:
Algunos de estos hilos discuten las implicaciones del axioma de elección, o sus equivalentes comunes el principio de buen orden y el lema de Zorn. En algunos de ellos se discute dónde se utilizan estos principios y qué puede ocurrir cuando fallan.
Es sólo un axioma que permite elegir un elemento de cada conjunto en una colección. La función de elección asigna cada índice a algún elemento en el conjunto correspondiente. La idea es que vayas de un juego a otro de tu colección, y elijas una cosa de cada uno.
Si tienes diez contenedores de cosas, no es descabellado suponer que puedes escoger una cosa de cada contenedor. Eso es todo lo que dice el axioma de la elección: no hay mucho más allá de su nombre.
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