El siguiente mostrará toda la cuestión.
Hallar la distancia d entre dos planos \begin{eqnarray} \\C1:x+y+2z=4 \space \space~~~ \text{and}~~~ \space \space C2:3x+3y+6z=18.\\ \end{eqnarray} Encontrar el otro avión $C3\neq C1$ que tiene la distancia d del plano $C2$.
De acuerdo con el ejemplo de mi maestro me dio, la respuesta debería ser :
Estoy en lo cierto? Sin embargo, no sé qué es normal y qué no son P(5) y Q($-\frac{1}{2}$).
Gracias por su atención
Por un plano definido por $ax + by + cz = d$ normal (es decir, la dirección que es perpendicular al plano) es de $(a, b, c)$ (ver Wikipedia para más detalles). Tenga en cuenta que esta es una dirección, por lo que podemos normalizar es $\frac{(1,1,2)}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{(3,3,6)}{\sqrt{9 + 9 + 36}}$, lo que significa que estos dos planos son paralelos y podemos escribir el normal como $\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2)$.
Ahora vamos a encontrar dos puntos en los planos. Deje $y=0$$z = 0$, y encontrar los correspondientes a $x$ valores. Para $C_1$ $x = 4$ y para $C_2$ $x = 6$. Así conocemos $C_1$ contiene el punto de $(4,0,0)$ $C_2$ contiene el punto de $(6,0,0)$.
La distancia entre estos dos puntos es $2$ y la dirección es $(1,0,0)$. Ahora que ahora que esta no es la distancia más corta entre estos dos puntos como $(1,0,0) \neq \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2)$, por lo que la dirección no perpendicular a estos planos. Sin embargo, esto está bien porque se puede utilizar el producto escalar entre el $(1,0,0)$ $\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2)$ a trabajar fuera de la proporción de la distancia a la que es perpendicular a los planos.
$(1,0,0) \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, 0, 0)$
De manera que la distancia entre los dos planos es $\frac{1}{\sqrt{6}}$.
La última parte es la de encontrar el avión en el que está a la misma distancia de a$C_2$$C_1$, pero en la dirección opuesta. Sabemos que la normal debe ser el mismo, $\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2)$. El uso de este se puede escribir $C_3: x + y+ 2z = a$ y determinar $a$. Al $y=0, z=0$ nos mudamos de $(4,0,0) \rightarrow (6,0,0)$, así que si nos movemos a la misma distancia volvemos $(6,0,0) \rightarrow (8,0,0)$$(8,0,0)$$C_3$. Por lo tanto, $a = 8$. Así que, finalmente, la ecuación del plano que es,
$C_3: x + y + 2z = 8$
Y ya está :)
Planos paralelos son conjuntos de nivel de una función lineal. En este caso, $x+y+2z=c$.
La firma distancia de $x+y+2z=c$ al origen es la normalizado algebraicas valor $$ \frac{c}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=\frac{c}{\sqrt{6}} $$
Por lo tanto, independiente de la distancia entre dos planos $x+y+2z=c_1$ $x+y+2z=c_2$ es $$ \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{6}} $$
En tu ejemplo, $c_1=4$$c_2=6$, por lo que la distancia es $$ \frac{2}{\sqrt{6}} $$
El otro avión a la misma distancia de a$C_2$$c=6+2=8$, por lo que es dado por $x+y+2z=8$.
Tomar un punto de un plano, por ejemplo, su $P$ desde arriba. Usted sabe que la distancia más corta entre 2 planos (son paralelos, por lo que tienen el mismo vector normal) es la distancia de a $P$ a el punto donde se toca con el otro avión en dirección al exterior de la normal. Esto significa:
la construcción de un lineal mapa
$P+r\cdot n$ n, donde n es el vector normal de los 2 aviones.
A continuación, busque el punto donde este mapa, toca el otro avión. El punto que se obtiene de esto es el punto que tiene la distancia más corta a $P$.
Como son paralelos, la elección inicial de $P$ no es importante.
EDITAR: puede escribir un avión como $P + r\cdot v_1 + s v_2$ donde $P$ algunos(!) punto en el plano y $v_1,v_2$ son los de la dirección de los vectores en el plano. Como está en el $\mathbb{R}^3$, siempre es posible encontrar otro vector es ortogonal a ambos de la dirección de los vectores. Este vector es el normal de vectores en el plano. Dado que su avión en coordinar la forma, el vector normal puede leer: consta de los coeficientes de las variables, por lo que $3x+4y-2z= 15$ tiene de lo normal-vector $\begin{bmatrix}3\\4\\-2\end{bmatrix}$
Como otros observado, los planos deben ser paralelas.
Supongamos que recibieron $0x + 0y + z = a$$0x + 0y + z = b$. Entonces, evidentemente, la distancia entre ellos es $d = |a-b|$, e $z = b \pm d$ dar los dos aviones a una distancia de $d$ lejos de la $z=b$ plano.
Así que todo lo que necesita hacer es elegir los ejes de la línea con los aviones. Deje $w$ ser la coordenada a lo largo de la dirección de la $\vec{n} = (1,1,2)$, ya que es la forma de ambos planos tomar. Pero entonces la coordenada $w = (x,y,z) \cdot \vec{n}/|\vec{n}|$:
$$x + y + 2z = 4 \iff w|\vec{n}| = 4 \iff w = 4/\sqrt{6} $$
y del mismo modo
$$3x + 3y + 6z = 18 \iff 3w|\vec{n}| = 18 \iff w = 6/\sqrt{6} $$
Ahora usted puede acabar con el problema utilizando las observaciones en el segundo párrafo.
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