Categorías concretas donde Epis son solo Surjections

Question

Antes de comenzar, permítanme proporcionar algunos antecedentes para fijar la notación/hacer el post más legible para los interesados externos. En una categoría $\mathscr{C}$ nos dicen que una de morfismos $X\xrightarrow{f}Y$ es un epimorphism siempre dados cualesquiera dos morfismos $g_1,g_2:Y\to Z$ con la propiedad de que $g_1\circ f=g_2\circ f$, se puede concluir que $g_1=g_2$. En términos más simples, que están "a la derecha cancellative". En la mayoría de los "niza" categorías concretas de la epimorphisms son precisamente los surjective morfismos (por ejemplo en $\bf{Grp}$, $\bf{Mod}-R$, $\bf{Ab}$, $\bf{Vec}_k$). Pero, en algunas categorías concretas esto no es cierto. Por ejemplo, sabemos que no todas las categorías tienen esta propiedad. Por ejemplo, en $\bf{Ring}$ los morfismos $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ es un no-surjective epimorphism desde cualquier morfismos de $\mathbb{Q}$ está determinado por su acción sobre el $\mathbb{Z}$ (estoy seguro de que la generalización de este contraejemplo es obvio). De todos modos, me preguntaba si había algún tipo de caracterización, o de manera más realista la intuición, para cuando un dado de hormigón categoría tiene la propiedad de que la epimorphisms son precisamente los surjective morfismos.

Gracias!

Answer 1

Otra categoría donde todos epimorphisms son surjective es la categoría de todos los espacios topológicos. De hecho, vamos a $X$ $Y$ ser espacios topológicos, y deje $f\colon X\to Y$ ser un epimorphism. Deje $Z=\{0,1\}$ dotado de la topología indiscreta, y deje $g\colon Y\to Z$ ser la característica de la función de $f(X)$. Si $h\colon Y\to Z$ es la función constante $1$,$gf = hf$, por lo tanto $g=h$, lo $f(X)=Y$. Por otro lado, en la categoría de Hausdorff espacios topológicos, $f\colon X\to Y$ es un epimorphism si y sólo si $f(X)$ es denso en $Y$.

Hasta donde yo sé, no hay una simple caracterización incluso en el caso de categorías concretas, incluso en el caso de las categorías de álgebras. Isbell, los dominios son una herramienta común para el estudio de la cuestión (véase esta respuesta para las referencias , que por cierto también contiene la caracterización de los dominios en la categoría de semigroups). También este, que incluye la declaración de la correspondiente teorema de los anillos; y este uno.

Para entrar en algunas de las cosas que me parece interesante, que se limita a las variedades de los grupos (una variedad de grupos es una subcategoría de los grupos que está cerrada en subgrupos, homomórfica imágenes y arbitraria directa de los productos; lo que es equivalente, la categoría de todos los grupos que satisface un conjunto de identidades):

No se conoce aún que las variedades de los grupos tienen la propiedad de que todos los epimorphisms son surjective. Por ejemplo, la inclusión de $A_n\hookrightarrow A_{n+1}$ es un epimorphism en la variedad generada por $A_{n+1}$ si $n\geq 4$. Más en general, para todos excepto un par de finito nonabelian simple grupos $S$ si $\mathfrak{V}$ es la variedad generada por $S$, entonces no es un buen subgrupo $H$ $S$ tal que $H\hookrightarrow S$ es un epimorphism. Ver Dominios en variedades generadas por el simple grupos, Álgebra Universalis 48 (2002), 133-143, SEÑOR 2003h:20051. (El papel no probar la afirmación acerca de que "todos, excepto un par", pero le da un characerization de que los subgrupos sería epimorphically incrustado, y a excepción de un par de "pequeños" simple grupos de Lie tipo de con $p=2$, todos ellos tienen dichos subgrupos.)

Peter Neumann demostró que cualquier subcategoría de Grupo que es cerrado bajo cocientes y en la que cada grupo es solucionable, tiene la propiedad de que todos los epimorphisms son surjective. (La división de los grupos y projectives en variedades de grupos, Cuartos de galón. J. Math. Oxford (2) 18 (1967), pp 325-332). Esto fue algo generalizado por Susan McKay (Surjective epimorphisms en clases de grupos, Cuartos de galón. J. Math. Oxford (2) 20 (1969), pp 87-90), para cualquier cociente-cerrado clase de grupos que se encuentra entre una variedad de la forma $\mathfrak{A}\mathfrak{V}$ y uno de la forma $\mathfrak{S}\mathfrak{V}$ donde $\mathfrak{A}$ es un trivial variedad de abelian grupos, y $\mathfrak{S}$ es una variedad de grupos resolubles.

En Nonsurjective epimorphisms en descomponible variedades, Álgebra Universalis 48, 145-150 (2002). MR 1929901(2003h:20052), se muestra que:

Teorema. Deje $\mathfrak{V}=\mathfrak{NQ}$ ser un trivial de la descomposición de la variedad de grupos de $\mathfrak{V}$. Para $G\in\mathfrak{V}$ $H$ a un subgrupo de $G$, los siguientes son equivalentes:

1. $H\hookrightarrow G$ es un epimorphism en $\mathfrak{V}$;
2. $H\mathfrak{Q}(G) = G$ $H\cap\mathfrak{Q}(G)\hookrightarrow \mathfrak{Q}(G)$ es un epimorphism en $\mathfrak{N}$;
3. Para cada subgrupo normal $N\triangleleft G$ tal que $N\in\mathfrak{N}$ y $G/N\in\mathfrak{Q}$, $HN=G$ y $H\cap N\hookrightarrow N$ es un epimorphism en $\mathfrak{N}$.

(Arriba, $\mathfrak{Q}(G)$ $\mathfrak{Q}$- verbal subgrupo de $G$).

En particular, un descomponible variedad de grupos ha nonsurjective epimorphisms sólo si la primera indecomposable factor ha nonsurjective epimorphisms. He conjeturado que la condición es también necesario.