¿Por qué cada $N$ -función polinómica invariante en $n\times n$ matrices en el álgebra de Plücker?

Question

Sea $k$ sea un campo y $k[{\bf x}] = k[x_{ij}: 1 \leq i, j \leq n]$ sea un álgebra de polinomios que puedo considerar como el álgebra de funciones sobre $n \times n$ matrices que son polinómicas en cada coordenada. Me gustaría entender los polinomios $f$ en $k[{\bf x}]$ que son invariantes por traslaciones a la izquierda por el grupo unipotente $N$ de matrices triangulares superiores: es decir, aquellas $f \in k[{\bf x}]$ que satisfagan $f(ng) = f(g)$ para todos $g \in M_n(k)$ y todos $n \in N$ .

En esta entrada del blog sobre las representaciones de $GL_n$ Creo que David Speyer afirma que el álgebra de $N$ -como se ha descrito anteriormente, como un álgebra sobre $k$ por todos los menores justificados: es decir, para cada subconjunto $\sigma =\{\sigma_1, \ldots, \sigma_r\} \subset \{1, \ldots, n\}$ deje $f_{\sigma}$ sea el polinomio que corresponde al $r \times r$ menor dado por el fondo $r$ filas y las columnas $\sigma_1, \ldots, \sigma_r$ . Entonces el álgebra generada por todas las $f_\sigma$ (algo así como un álgebra de Plücker) es supuestamente exactamente el álgebra de $N$ -invariantes.

No es difícil convencerse de que todos los $f_\sigma$ s son $N$ -invariante, pero ¿cómo puedes demostrar que no hay nada más? Speyer sugiere tentadoramente que hay varios argumentos, y que el Teorema 14.11 de Miller-Sturmfels proporciona uno, pero no consigo averiguar cómo lo hace. Por si sirve de algo, el teorema dice que la $f_\sigma$ s forman una base sagbi para el álgebra de Plücker con cualquier orden de términos donde el término principal de cada $f_\sigma$ es la diagonal (o antidiagonal). Puede ver la afirmación aquí ; busca dentro "diagonal o antidiagonal". (Ten en cuenta que Miller-Sturmfels usa menores justificados por arriba, así que el álgebra de Plücker allí es invariante por traslación a la izquierda por los unipotentes triangulares inferiores. pero no creo que eso cambie mucho las cosas).

Cualquier idea será muy apreciada. Me encantaría entender cómo se podría utilizar el Teorema 14.11 para demostrar que la $f_\sigma$ s generan el álgebra completa de $N$ -invariantes. También tengo mucha curiosidad por otros posibles argumentos.

Answer 1

Ok, aquí hay un argumento que creo que funcionará. Dejemos que $k = \mathbb C$ .

En esa misma entrada del blog Speyer argumenta esencialmente que el álgebra del $N$ -invariantes-por-la-izquierda-traducción -- llamémoslo $A$ -- se descompone como una suma directa de todas las representaciones polinómicas irreducibles de $G = GL_n({\mathbb C})$ donde la acción de $G$ es ahora la traducción a la derecha.

(En realidad argumenta que la izquierda $N$ -invariantes de $\mathcal O[G] = {\mathbb C}[x_{ij}, \det^{-1}]$ se descompone como la suma directa de todas las representaciones algebraicas de $G$ . Pero si nos fijamos en cómo cada $V$ se sienta dentro ${\mathcal O}[G]$ -- por sus coeficientes -- está claro que cada irreducible está en una componente homogénea y que los polinómicos están en la parte polinómica de ${\mathcal O}[G]$ que es ${\mathbb C}[G]$ .

Esta parte de su argumento es encantadora; permítanme resumirla. Por Peter-Weyl , ${\mathcal O}[G] = \bigoplus V^* \otimes V$ como representaciones de $G \times G$ la suma directa es sobre todas las representaciones algebraicas irreducibles de $V$ . Por cierto, el mapa de $V^* \otimes V$ a ${\mathcal O}[G]$ es sólo $\lambda \otimes v \mapsto \{g \mapsto \lambda(gv)\}$ así que a sus coeficientes. La acción de $G \times G$ en ${\mathcal O}[G]$ es por traslación izquierda-derecha: $\big({}^{(g, h)}f\big)(x) = f(g^{-1} x h)$ . Si toma el $N \times 1$ invariantes en cada lado, se obtiene exactamente la traslación a la izquierda $N$ -invariantes de la ${\mathcal O}[G]$ lado. Y en el otro lado, ya que $V^*$ es irreducible y tiene una única recta de mayor vector, se obtiene $\mathbb C \otimes V = V$ en cada sumando directo. Así, en ${\mathcal O}[G]$ se realiza cada irreducible $V$ bajo traducción correcta dentro de los vectores de mayor peso de $V^*$ bajo traducción izquierda ¡! ¿No es genial?)

Pero en fin, volvamos al tema que nos ocupa. Dejemos que $P \subset \mathbb C[x_{ij}]$ sea la subálgebra de Plucker como se ha descrito anteriormente. Queremos ver que $A = \mathbb C[x_{ij}]^N = \bigoplus_{V\ {\rm poly}} V$ es lo mismo que $P$ vemos por cálculo que $P \subset A$ . Construir todas las representaciones polinómicas irreducibles de $G$ como módulos de Schur sobre la representación estándar. Así se hace, por ejemplo, en el capítulo 8 de "Young Tableaux" de Fulton. Al final de la sección 8.1, Fulton también muestra que cada $V = V^{\lambda}$ mapas a $P$ , en un $G$ -de manera equivariante, donde la acción sobre $P$ es la traducción correcta, justo cuando estábamos pensando en ello.

Así que supongo que lo hace, por el lema de Schur y el seguimiento de la dimensión en cada componente homogénea, o tal vez también la semisimplicidad de representaciones algebraicas agradables de $G$ : $$A = \bigoplus V \hookrightarrow P \subset A.$$

Sin embargo, sigo sin ver qué tiene que ver esto con las bases sagbi o el teorema 14.11 de Miller-Sturmfels. Y es un poco insatisfactorio tener que apelar a alguna otra construcción de todas las representaciones algebraicas de $GL_n$ ...