Un ideal que es radical pero no principal.

Question

Me estoy preparando para un examen y, como parte de esta preparación,

Estoy en busca de un ideal $I$ integral de dominio $R$ que es radical, pero no primos.

Aquí está un ejemplo, estoy jugando con:

Deje $R=\mathbb{R}[x]$ y deje $I=(x(x-1))$. Estoy teniendo problemas para mostrar que este ideal es, en realidad radical. Mi intuición es considerar el cociente del anillo de $\mathbb{R}[x]/(x(x-1))$ y determinar si es reducido, es decir, si posee o no trivial nilradical. Sin embargo, esto sólo me llevó en círculos hasta ahora. $(x(x-1))$ está claro que no es un alojamiento ideal, por lo que es suficiente para mostrar que es radical.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Por qué no utilizar un ejemplo simple... Supongamos que el anillo y tomar el ideal $R=\mathbf{Z}$ $6\mathbf{Z}$. Desde $\sqrt{m\mathbf{Z}}=r\mathbf{Z}$ donde $r=\Pi_{p|m} p$ $p$ es un número primo. Aquí $\sqrt{6\mathbf{Z}}=6\mathbf{Z}$ $6\mathbf{Z}$ no es un ideal primo ya que 6 no es primordial.

Answer 2

$x(x-1)$, no es primordial. Supongamos que $f^{n}\in \langle x(x-1) \rangle$. Desde $f^{n}\in \langle x \rangle$, y el primer, $\langle x \rangle$ $m<n,f^{m}\in \langle x \rangle$. Procede de esta manera podemos probar $f$ debe ser divisible por $x$ y semejantemente para $x-1$. Esto da a $f$ es divisible por $x(x-1)$. Por lo que este ideal es su radical.