Límite de las sumas de variables aleatorias iid que no son integrables al cuadrado

Question

El teorema del límite central nos dice que para una secuencia iid de variables aleatorias $(X_n)_{n\geq 0}$ de varianza finita $\sigma^2$ y media cero

$$\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{\sqrt{n}}=^d N(0,\sigma^2)$$

donde $S_n=X_1+\cdots+X_n$ .

Supongamos que tenemos una secuencia similar, excepto que ahora suponemos que $X_n$ tiene una varianza infinita. Entonces, ¿es posible que la secuencia $\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ para converger en la distribución? ¿Siempre hay algún $\alpha$ tal que $n^\alpha S_n$ converge a una distribución no constante?

(Me parece que la respuesta a la primera pregunta debería ser no, pero tengo problemas para demostrarlo).

Gracias.

Answer 1

El teorema del límite central generalizado establece (ver este para un resumen), que si $X_i$ son i.i.d. tales que su función de densidad tiene una asíntota de ley de potencia de cola izquierda $\mathbb{P}(X < -x) \sim d x^{-\mu}$ y la cola derecha asintótica $\mathbb{P}(X > x) \sim 1- c x^{-\mu}$ como $x \to +\infty$ entonces existen secuencias $a_n$ y $b_n$ tal que la variante aleatoria $Z_n = ((\sum_{i=1}^n X_i) - a_n )/b_n$ converge en probabilidad a una distribución estable con índice de estabilidad $\alpha = \min(\mu, 2)$ y el parámetro de asimetría $\beta = \frac{c-d}{c+d}$ .

Detalles sobre la elección constructiva de las secuencias $a_n$ y $b_n$ se indican en la tabla que se encuentra en el enlace anterior. Vea también página 62 de Zolotarev y Uchaikin en Google books.