Hola Carlos,
el monstruo es un buen ejemplo de cómo la llamada rigidez método de la inversa de Galois problema obras. Hay un montón de hermosas matemáticas detrás de esto, voy a bosquejar los diferentes pasos.
Una observación general: es sabido que cada profinite grupo, es decir, cada grupo que podría ser un grupo de Galois de algunos de extensión de campo, de hecho es el grupo de Galois de algunos de Galois de la extensión. Esto es todavía muy elemental (un resultado de la Leptina, también confirmado por Waterhouse). Para hacer la inversa de Galois pregunta más interesante, por lo tanto, debemos considerar la posibilidad de una base fija campo $K$. No podemos esperar que cualquier profinite grupo seguirá siendo un grupo de Galois sobre $K$ - cada grupo de Galois sobre $K$ es el cociente de la absoluta Galois grupo de $K$, y por lo tanto la cardinalidad de un grupo de Galois sobre $K$ está delimitada desde arriba, mientras que es fácil ver que hay profinite grupos que son "estrictamente más grande" en la cardinalidad. Así que una muy razonable la pregunta es, de hecho, para preguntar si cada grupo finito es un grupo de Galois sobre alguna base fija campo $K$. La mayoría de los caso natural es hacer la pregunta para $K = \mathbb{Q}$, pero también en otros campos de la base de que puede ser considerado - por ejemplo, para $K = \mathbb{C}(t)$ la inversa Galois conjetura es verdadera. De hecho, la inversa de Galois problemas de diferentes campos de la base de $K$ a veces están estrechamente vinculados; el método que voy a esbozar a continuación es un ejemplo perfecto para esto, ya tendremos el considerar cuatro diferentes campos de la base de: $\mathbb{C}(t)$, $\overline{\mathbb{Q}}(t)$, $\mathbb{Q}(t)$, y, por supuesto,$\mathbb{Q}$.
(1) Comience con el hecho de que cada grupo finito $G$ puede ser realizado como un grupo de Galois sobre $\mathbb{C}(t)$. Esto se deduce de la teoría de los cubrimientos de Riemann-superficies; si $G$ puede ser generado por $n - 1$ elementos, entonces podemos darnos cuenta de $G$ como cociente del grupo fundamental de la pinchada de la esfera de Riemann $\pi_1^{\text{top}}(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \setminus \{P_1,P_2,\,\cdots,P_n\})$, donde debemos elegir los puntos de $P_1,P_2,\,\cdots,P_n$ a un ser racional.
(2) utilizamos la teoría de la étale grupo fundamental para obtener un isomorfismo $\pi_1(\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \setminus \{P_1,P_2,\,\cdots,P_n\}) = \pi_1(\mathbb{P}^1(\overline{\mathbb{Q}}) \setminus \{P_1,P_2,\,\cdots,P_n\})$, lo que nos permite darnos cuenta de $G$ como grupo de Galois sobre $\overline{\mathbb{Q}}(t)$. [$\pi_1$ es el étale grupo fundamental - aquí el profinite de la finalización de la versión topológica.]
[Por supuesto, esto es ya de los materiales avanzados; véase el artículo de Wikipedia para el fondo. Para una buena introducción a la teoría, hay SGA 1 por Grothendieck; y el reciente libro "grupos de Galois y fundamental de los grupos" por Tamas Szamuely es muy suave, introducción (y todo esto en detalle).]
(3) existe una secuencia exacta
$1 \to \pi_1(\mathbb{P}^1(\overline{\mathbb{Q}}) \setminus \{P_1,P_2,\,\cdots,P_n\}) \to \pi_1(\mathbb{P}^1(\mathbb{Q}) \setminus \{P_1,P_2,\,\cdots,P_n\}) \to \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}|\mathbb{Q}) \to 1$
(este es un resultado esencial; ver de nuevo los libros que he mencionado) y, básicamente, ahora queremos extender un surjective homomorphism de $\\pi_1(\mathbb{P}^1(\overline{\mathbb{Q}}) \setminus \{P_1,P_2,\,\cdots,P_n\})$ $G$a un surjective homomorphism de$\pi_1(\mathbb{P}^1(\mathbb{Q}) \setminus \{P_1,P_2,\,\cdots,P_n\})$$G$. Por supuesto, esto depende en gran medida de la estructura del grupo de $G$. Esto funciona para muchos finitos simples grupos; la construcción es bastante general, pero especialmente para los grupos siempre hay algunas técnicas de trabajo que hacer para demostrar que el método se aplica. En particular, se trabaja por grupos finitos con un trivial centro, y un rígido sistema de racional clases conjugacy - estos son bastante condiciones técnicas, por supuesto, y me limitaré estado de las definiciones. Una $n$-tupla de clases conjugacy $C_1,C_2,\,\cdots,C_n$ $G$ es rígido si existe $(g_1,g_2,\,\cdots,g_n) \in G^n$ de manera tal que el $g_i$ generar $G$, $g_1g_2\cdots g_n = 1$ y $g_i \in C_i$, y si además $G$ actúa transitivamente sobre el conjunto de todos los $n$-tuplas $(g_1,g_2,\,\cdots,g_n)$. Una clase conjugacy $C$ $G$ es racional si $g \in C$ implica $g^m \in C$ todos los $m$ coprime a la orden de $G$. No voy a explicar por qué precisamente estas condiciones darle lo que quiere, ya que es muy técnica. Szamuely lo explica muy claramente. Las condiciones se puede generalizar, pero eso no la hace más fácil de leer...
[Referencias: sección 4.8 en Szamuely el libro que he mencionado anteriormente, y también Serre el maravilloso libro "Temas de la teoría de Galois", que tal vez debería ser llamado "Temas en la inversa de la teoría de Galois" :)]
(4) El paso anterior nos permite descender de$\overline{\mathbb{Q}}(t)$$\mathbb{Q}(t)$, es decir, para darse cuenta de $G$ como grupo de Galois de una regular extensión - otra técnica noción de que no voy a explicar, pero no deja de ser importante - de $\mathbb{Q}(t)$. Descender de $\mathbb{Q}(t)$$\mathbb{Q}$, no es de Hilbert irreductibilidad teorema, o una ligera generalización (no recuerdo exactamente).
Según Thompson, el Monstruo tiene un sistema rígido de tres racional conjugacy clases de órdenes 2, 3 y 29. Así que el método que se aplicará; por supuesto, supongo que va a ser muy duro para la construcción de estas clases conjugacy, y es evidente que la clasificación de los finitos simples grupos ha jugado un papel muy importante en estos desarrollos. (Pero yo no soy un grupo teórico, de manera que alguien que sabe cómo funciona esto es agradable para dar información adicional acerca de esta construcción :))
Así que espero que esto te da una idea; esto lo escribí en un apuro, por lo que las sugerencias para hacer esto más claro o más coherente (o de la corrección del rumbo de los detalles que me equivoqué) son siempre bienvenidos.
