¿Por qué el vector gradiente siempre estarán orientado en una dirección creciente?

Question

No entiendo por qué no es posible que alguna función, por ejemplo decir $f(x,y)$, para no tener algún punto donde las derivadas parciales se combinan para un vector gradiente que apunta en una dirección descendente. ¿Por qué debe siempre se niega a un vector de dirección decreciente?

Answer 1

Intuitivamente, $f(x + \Delta x) \approx f(x) + \langle \nabla f(x), \Delta x \rangle$. (Estoy usando la Convención de que $\nabla f(x)$ es un vector de columna.) Así que si $\Delta x = \epsilon \nabla f(x)$ (aquí $\epsilon > 0$ es pequeña), entonces\begin{align*} f(x + \Delta x) & \approx f(x) + \epsilon \langle \nabla f(x), \nabla f(x) \rangle \\ &= f(x) + \epsilon \| \nabla f(x) \|^2 \\ &\geq f(x). \end{align*}

Así que cuando nos movemos un poco en la dirección de $\nabla f(x)$, aumenta el valor de $f$.

Answer 2

No es obvio:

Considere la función $$f(x,y):=\cases{0&$\bigl((x,y)=(0,0)\bigr)$,\cr x+y-{4|xy|^{4/3}\over x^2+y^2}&(otra cosa) .\cr}$$ A continuación, $f$ es continua en a$(0,0)$$\nabla f(0,0)=(1,1)$, pero $$f(t,t)-f(0,0)=2t-{4|t|^{8/3}\over 2t^2}=2|t|^{2/3}\bigl(|t|^{1/3}{\rm sgn(t)}-1\bigr)<0\qquad(0<|t|<1)\ .$$ Esto demuestra que $f$ disminuye en la dirección del gradiente.

Ahora se considera la $f$ no es diferenciable en a $(0,0)$, y el gradiente se define a través de las derivadas parciales sólo existe por casualidad. Para cualquier $f$ que en realidad es diferenciable en a $(0,0)$ uno tiene $$f(x,y)-f(0,0)=\nabla f(0,0)\cdot (x,y)+o(r)\qquad(r:=\sqrt{x^2+y^2}\to0)\ .$$ Ahora, si $\nabla f(0,0)=(a,b)\ne(0,0)$ y elige $(x,y):=(ta,tb)$ $t>0$ $$f(ta,tb)-f(0,0)=t(a^2+b^2)+o(t)=t (a^2+b^2)(1+o(1))\qquad(t\to0)\ ;$$ y, por tanto, $f(ta,tb)-f(0,0)$ $>0$ suficientemente pequeño $t>0$.

Answer 3

Prefiero explicar que es ligeramente diferente manera:

En realidad debemos definir el gradiente de estar siempre apuntando a que el aumento máximo de dirección! tomar vistazo a la siguiente:

Considere una función de $f(x,y)$, entonces es completo derivada es:

$df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)\left(dx,dy\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)\vec{dr}=\left\Vert \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right\Vert \left\Vert \vec{dr}\right\Vert \cos\alpha$

así que si tenemos en cuenta la simplicidad que $\left\Vert \vec{dr}\right\Vert =1$, finalmente, obtenemos que:

$df(x,y)=\left\Vert \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right\Vert \cos\alpha$

Así porque la función coseno es siempre menor o igual a uno , vemos que el primer término es el máximo valor posible para nuestros función de aumento (debido a que corresponden a $\alpha=0$ ) por lo tanto, si definimos este primer plazo, como la longitud de algunos de vectores y nosotros el nombre de gradiente, entonces este vector se señala a la dirección de máximo aumento posible de nuestra función de $f(x,y)$.

Answer 4

Aquí es otra manera de mirarlo: definir $g_v(t) = f(tv)$. Entonces $g'_v(0)$ representa la tasa de aumento de $f$ mientras caminamos en la dirección de $v$ $0$. Pero también podemos usar la regla de la cadena para calcular que $g'_v(0) = v \cdot \nabla f(0)$. Mirar el % de expresión $v \cdot \nabla f(0)$, vemos que entre todos unidad vectores $v$, el máximo se produce cuando en la misma dirección como $v$ $\nabla f(0)$. También vemos que es mínimo cuando apunta en la dirección opuesta. La clave de todo esto es que el $f$ ser diferenciable.