Dibujar tres círculos congruentes todos tocar uno al otro y un segundo conjunto de estos tres círculos, cada uno tocando también dos de la primera serie.

Question

Esto corresponde a una de Steiner Porism de configuración con n = 4, sin embargo, el problema que tengo es que, aunque es fácil de construir, n = 4 Steiner Porism de configuración (vea la segunda imagen de abajo), no sé lo que el círculo de la inversión sería que invertir en el deseado de creación de instancias.

Yo era capaz de hacer algunas eyeballing (junto con algunas observaciones como la que el exterior de los 3 círculos debe estar centrado en el radical de los ejes de los pares de los círculos interiores), usando el excelente software de geometría C. a.R. para ajustar a las intersecciones, para la construcción de un aproximado de diagrama de abajo, de la que yo también era capaz de (aproximadamente) para construir el círculo de la inversión $\omega$ (mostrado en rojo).

En negro se muestra la configuración como se describe, mientras que en verde se muestran las 4 de la 'regular 4-gon' cifra resultante de la inversión en $\omega$ (interior y exterior de los círculos concéntricos y dos de los cuatro círculos congruentes).

Mientras que el hecho de que esta inversión de obras (de nuevo, aproximadamente) muestra que, a mi mirando hacia la construcción está razonablemente cerca, yo todavía no sé cómo, precisamente, construcción $\omega$ directamente desde el regular 4-gon versión de la n=4 configuración.

También se muestra en azul claro es un mediados del círculo de $\mu$ entre dos de los opuestos círculos en negro de la configuración.

Este es el problema 5.8.3 en la Geometría Revisited (por Coxeter y Greitzer).

Answer 1

Una construcción para el problema original puede ser derivada a partir de la siguiente observación:

Nos deja denotar el toque más pequeños círculos C1, C2, C3 con centros de M1, M2, M3, resp., cada uno con radio r. Vamos a C4 ser uno de los círculos más grandes C4 tocar C1 y C2 con el (desconocido) de radio R y vamos a C4 ser un círculo con un radio (R+R) y el mismo centro. Este es un círculo de ir a través de M1 y M2, y toca una línea g paralelo a la symmetrie eje s1 entre M2 y M3, con una distancia de r entre la g y la s1 (en lo obvio de la dirección).

Para construir el círculo de C4 a través de determinados puntos M1 y M2 y con tangente g que realizar una inversión en el círculo C con centro de M1 y radio |M1M2|. C4 es así asignado a una línea a través de M2 y tocar el círculo, que es la imagen de g (después de la inversión).

Por lo que la construcción de C4 (habiendo construido C1,C2,C3 ya) se ejecuta de la siguiente manera:

1. dibujar g como una línea paralela al eje de simetría s1 con la distancia r a partir de s1 en el lado de M3.
2. invertir g en el círculo C dando un círculo Cg.
3. trazar las tangentes de M2 a Cg.
4. invertir las tangentes y escoger el más grande el círculo como C4 y su radio (R+R).
5. reducir esta radio por r para obtener R. C4 es el círculo con el mismo centro como C4 y radio R.
6. Los círculos de C5 y C6 son fácilmente construido usando los ejes de simetría, el centro de simetría y la ahora conocida radio R.

Answer 2

Aquí es una solución analítica para encontrar el correspondiente centro de inversión:

Deje $R$ ser el radio de los cuatro círculos congruentes en Steiner Porism de configuración con n = 4. (Entonces el pequeño círculo en el centro tiene radio R ($\sqrt2 -1)$, mientras que el círculo exterior tiene radio de $R(\sqrt2+1)$.)

Estamos buscando un centro de inversión a lo largo de una línea por el centro de la Porism de configuración que también es tangente a cada uno de los 4 círculos congruentes (es decir, la línea está inclinada respecto a la horizontal 45° en la figura de arriba). Debido a la simetría, una inversión que va a generar dos pares de círculos congruentes a partir de los 4 círculos congruentes. Si el círculo del centro se transforma en un círculo congruente a uno de los pares, el círculo exterior se transforma en un círculo congruente con el otro par.

Deje $x$ ser la distancia del centro de inversión de la configuración del centro. A continuación, la distancia del centro de inversión para 4 círculos congruentes centro se $\sqrt{(x\pm R)^2+R^2}$. El radio de un círculo a una distancia $d$ desde el centro de inversión (con una unidad de inversión del círculo) es la transformada de $r$ $\frac{r}{d^2-r^2}$por inversión. Por lo tanto los radios de los 4 círculos congruentes serán transformados a $\frac{R}{(x\pm R)^2}$. El radio del círculo central se $\frac{R(\sqrt2-1)}{x^2-R^2(\sqrt2-1)^2}$ después de la inversión.

Para hacer la invertida en el círculo de centro congruente a un par de ya congruentes círculos de podemos resolver

$\frac{R}{(x + R)^2} = \frac{R(\sqrt2-1)}{x^2-R^2(\sqrt2-1)^2}$

para $x$, lo que da las dos soluciones válidas $R\frac{1\pm \sqrt3}{\sqrt2}$. Dicha distancia puede, por supuesto, ahora también se construye.