¿Cuáles son los valores propios de la matriz que tienen todos los elementos iguales a 1?

Question

Como en el tema: dada una matriz $A$ de tamaño $n$ con todos los elementos iguales a 1.

¿Cuáles son los valores propios de esa matriz?

Answer 1

Supongamos que $\,\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\...\\x_n\end{pmatrix}\,$ es un vector propio de dicha matriz correspondiente a un valor propio $\,\lambda\,$ entonces

$$\begin{pmatrix}1&1&...&1\\1&1&...&1\\...&...&...&...\\1&1&...&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\...\\x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+x_2+...+x_n\\x_1+x_2+...+x_n\\.................\\x_1+x_2+...+x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda x_1\\\lambda x_2\\..\\\lambda x_n\end{pmatrix}$$

Una solución obvia a lo anterior es

$$W:=\left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\..\\x_n\end{pmatrix}\;;\;x_1+...+x_n=0\right\}\,\,\,,\,\,\lambda=0$$

Seguro que sí, $\,\dim W=n-1\,$ (no hace falta ser un mago para "ver" esta solución ya que la matriz es singular y por tanto uno de sus valores propios debe ser cero)

Otra solución, quizás no tan trivial como la anterior, pero también bastante sencilla, en mi opinión, es

$$U:=\left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\..\\x_n\end{pmatrix}\;;\;x_1=x_2=...=x_n\right\}\,\,\,,\,\,\lambda=n$$

De nuevo, es fácil comprobar que $\,\dim U=1\,$ .

Ahora, sólo presta atención al hecho de que $\,W\cap U=\{0\}\,$ a menos que la dimensión del espacio vectorial $\,V\,$ que estamos trabajando se divide por la característica del campo de definición (si estás acostumbrado a los espacios vectoriales reales/complejos y no estás seguro de lo que es la característica de un campo haz caso omiso del último comentario)

Por lo tanto, asumiendo que este es el caso, obtenemos $\,\dim(W+U)=n=\dim V\Longrightarrow V=W\oplus U\,$ y así hemos encontrado todos los posibles valores propios que hay.

Por cierto, como efecto secundario de lo anterior, obtenemos que nuestra matriz es diagonalizable.

Answer 2

HINT $$\begin{bmatrix}1 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 1 & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & \cdots & 1\\\end{bmatrix}_{n \times n} = \begin{bmatrix} 1\\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}_{n \times 1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\end{bmatrix}_{1 \times n}$$ ¿Cuáles son los valores propios de $uv^T$ , donde $u$ y $v$ son vectores columna?

Answer 3

Como parece una pregunta de deberes, he aquí algunas pistas: ¿Cuál es el rango de la matriz? ¿Qué dice esto sobre los valores propios? ¿Puedes adivinar un determinado vector propio (también de una estructura específica muy simple)?