Compacidad del operador de multiplicación en $L^2$

Question

Supongamos que tenemos un operador lineal acotado que opera desde $L^2([a,b]) \mapsto L^2([a,b])$. Ahora Supongamos que $A(f)(t) = tf(t)$.

¿Es un compacto?

Edición: sé $A = A^*$ pero no estoy muy seguro de cómo iniciar en esto. No es tarea, solo diversión de verano :D

Answer 1

¿Sabe qué es el espectro de una compacta auto-adjunto del operador parece?

¿Sabe qué es el espectro de un operador de multiplicación parece?

Edit: he Aquí un segundo enfoque, que no se basa en la auto-adjointness.

Si $0 \notin [a,b]$, a continuación muestran que la $A$ tiene un almacén de izquierda inversa (es decir, un operador acotado $B$ tal que $BA = I$). Demostrar que un operador compacto en un infinito espacio tridimensional no tienen esta propiedad.

Si $0 \in [a,b]$, muestran que no hay un infinito-dimensional cerrado (añadido en edit (editar) en el subespacio $K \subset L^2([a,b])$ de manera tal que la restricción de $A$ $K$tiene un almacén de izquierda inversa. Demostrar que un operador compacto no tienen esta propiedad.

Un tercer enfoque sería explícitamente encontrar una $L^2$acotado secuencia $\{f_n\}$ tal que $\{A f_n\}$ no $L^2$ convergente larga. En realidad, el "segundo enfoque de" arriba podría ayudar con esto.

Edit 2: Utilizando el segundo método más arriba, puede probar el siguiente generalización:

La proposición. Deje $(X, \mu)$ ser una medida en el espacio sin átomos, y deje $h : X \to \mathbb{C}$ ser un acotado medible función. Deje $Af = hf$ ser el correspondiente operador de multiplicación en $L^2(X, \mu)$. A continuación, salvo en el caso trivial de que $h = 0$ $\mu$-una.e., $A$ no es compacto.