Vago convergencia implica convergencia de oscilaciones

Question

Deje $G$ ser un equipo compacto metrisable abelian grupo. Para cualquier real de los valores de $f \in C_c(G)$ y cualquier Borel probabilidad de medida $\mu$$G$, definir la oscilación $\text{osc}_f(\mu)$ $\mu$ con respecto al $f$ a ser la cantidad de $\text{osc}_f(\mu):= \sup_{y\in G} \int_G \tau_yfd\mu(x)-\inf_{y\in G} \int_G \tau_y fd\mu(x)$.

Quiero mostrar que es una secuencia $\mu_n$ de Borel probabilidad de medidas converge en la vaga de la topología para un Borel probabilidad de medida $\mu$, $\text{osc}_f(\mu_n) \to \text{osc}_f(\mu)$ todos los $f \in C_c(G)$. \

Realmente no estoy muy seguro de por qué esto es cierto en absoluto. Para cualquier $y \in G$, obviamente $\int_G \tau_yfd\mu_n(x) \to \int_G \tau_yf\mu(x)$, pero me parece una secuencia que va de la mano, el supremum puede ser diferente. También, he tratado de trabajar con los funcionales lineales correspondientes para ver si había algún propiedades hay que ayudar, pero no parece.

EDIT: he encontrado algo? Deje $\mu * f: G \to \mathbb{R}$ se define como $\mu *f(y) = \int_G \tau_yfd\mu$. Claramente $\mu *f$ es continua y compacta compatible con lo que se llega a un mínimo y el máximo. Vaga convergencia implica $\mu_n * f \to \mu * f$ pointwise por lo tanto, llegar a la misma min y max. Este último paso no es correcto.

EDIT2: Son las $\mu_n * f$ uniformemente equicontinuous? porque entonces tenemos convergencia uniforme y mi declaración sobre el min y max de trabajo.

EDIT3: No estoy muy seguro acerca de que la uniformemente equicontinuous reclamación. Parece más prometedora para averiguar algo que ver con la compacidad.

Answer 1

Con el fin de investigar si la función $\text{osc}_f$ es secuencialmente continua, para cada una de las $f \in C_c(G)$ fijo, que es la afirmación (creo). Yo consideraría $\Gamma$-convergencia (Buena introducción es el Capítulo 7 de 'Homogeneización de Múltiples Integrales" de los funcionales $F_n : y \mapsto \int_G \tau_y f d \mu_n$. Si usted puede demostrar que $\sup_{y \in G} F_n \rightarrow \sup_{y \in G} F =:\sup_{y \in G} \int_G \tau_y f d \mu$ $\inf_{y \in G} F_n \rightarrow \inf_{y \in G} F =: \inf_{y \in G}\int_G \tau_y f d \mu$ luego de que estás hecho. Esta instrucción es equivalente a decir que el $F_n \stackrel{\Gamma}{\rightarrow} F$ y $-F_n \stackrel{\Gamma}{\rightarrow} -F$ ($\Gamma$-la convergencia como se describe en el libro asegura la convergencia de los valores mínimos de $F_n$, usted no necesita preocuparse acerca de los equi-coercitividad condiciones, teniendo en cuenta $-F_n$ permite estudiar la convergencia de los valores máximos demasiado, usted tendrá una topología en $G$ a asegurar una cierta convergencia de puntos en $G$). La escritura de las definiciones de $F_n \stackrel{\Gamma}{\rightarrow} F$$-F_n \stackrel{\Gamma}{\rightarrow} -F$, usted verá que esto es idéntico a decir que $F_n(y_n) \rightarrow F(y)$ todos los $y \in G$ $y_n \rightarrow y$ (en algunos adecuado segundo contables de la topología en $G$). Creo que una vez que este paso se realiza, a continuación, la prueba de la siguiente manera muy sencilla. Escribir la integral como $\int_G \tau_{y_n} f d \mu_n = \int_G (\tau_{y_n}-\tau_{y}) f d \mu_n + \int_G \tau_{y} f d \mu_n$. El segundo término, convergen a su respuesta, el primer término sería ideal para desaparecer usando el teorema de convergencia dominada o algo similar - incluso en otra división. Espero que no haya suficiente detalle para que se mueva entre los pasos y que esto responda a su pregunta.

Como una interesante un lado, el hecho de que usted necesita para mostrar que $F_n(y_n) \rightarrow F(y)$ todos los $y \in G$ $y_n \rightarrow y$ demuestra que, aunque la pointwise convergencia parece un buen candidato de convergencia, en el hecho de que usted necesita lo que es casi como un 'secuencial de continuidad a lo largo de la secuencia'.

Edit: he decidido que no tenía necesidad de los Wasserstein métrica, porque una topología en $G$ es más importante. Usted puede utilizar el Wasserstein métrica si usted necesita metrise la topología de vagos convergencia.