Sí, esto es de hecho una forma de dualidad. El siguiente esquema sigue el enfoque de Perspectives on Projective Geometry por J. Richter-Gebert.
Métrica Cayley-Klein
Probablemente la mejor manera de entender esto sea utilizando métricas Cayley-Klein. Esa es una forma muy general de medir distancias y longitudes en geometría proyectiva. Comienzas fijando una cónica fundamental cónica. Si eliges el círculo unitario en este punto, obtienes el modelo Beltrami-Klein de la geometría hiperbólica. Para calcular distancias entre dos puntos $P$ y $Q$, los unes con una línea, intercepas esa línea con la cónica fundamental para obtener $X$ e $Y$, y luego defines la distancia como
$$c_{\text{dist}}\ln(P,Q;X,Y)$$
Para la geometría hiperbólica convencionalmente se elige $c_{\text{dist}}=\tfrac12$ para obtener una curvatura de $-1$. El término $(P,Q;X,Y)$ denota un cociente cruzado, que podrías expresar usando longitudes, pero que prefiero calcular desde las coordenadas homogéneas de los puntos. El orden de $X$ y $Y$ no está fijo por las instrucciones, y intercambiarlos invertirá el signo. Así que esto describe una distancia solo hasta el signo, lo cual tiene sentido. No estoy colocando barras de valor absoluto ya que tendremos que tratar con números complejos en breve, y allí tomar el valor absoluto no es lo mismo que simplemente ignorar un signo.
Así que ahora pasamos a la medida dual de ángulos. Tienes esa misma cónica fundamental, y dos líneas $p$ y $q$. Desde el punto donde se intersecan (dual a la línea que une $P$ y $Q$) trazas tangentes a la cónica (dual a intersecciones) y las llamas $x$ e $y$. Entonces el ángulo se define como
$$c_{\text{ang}}\ln(p,q;x,y)$$
Si $p$ y $q$ se intersectan dentro del plano hiperbólico, las tangentes $x$ e $y$ serán un par conjugado complejo de líneas. Por esta razón, convencionalmente se elige $c_{\text{ang}}=\tfrac1{2i}$ para obtener un ángulo real, medido en radianes.
Entonces en este punto deberías ver que
- la medición de la distancia y la medición del ángulo se dualizan entre sí y
- una (de momento bastante "cosmética") diferencia es que una de ellas tiene una constante real y la otra una constante imaginaria para la geometría hiperbólica.
Excursus: otras geometrías
Las métricas Cayley-Klein también se pueden utilizar para describir otras geometrías, simplemente cambiando la cónica fundamental y las constantes. Si en lugar del círculo unitario $x^2+y^2-z^2=0$ (en coordenadas homogéneas) se toma la cónica completamente compleja $x^2+y^2+z^2=0, el resultado es la geometría elíptica.
Para la geometría euclidiana la cónica fundamental sería $z^2=0$, es decir, la línea en el infinito tomada con multiplicidad dos, pero eso es solo la mitad de la historia: si la cónica primal es una línea doble como en este caso, se necesita conocer explícitamente la cónica dual ya que no se puede calcular a partir de la primal. En este caso, la cónica dual sería $x^2+y^2=0$ o equivalente a $(x+iy)(x-iy)=0$. Lo que significa que el paso "dibujar tangentes desde el punto de intersección a la cónica fundamental" se traduce en "conectar el punto de intersección con los puntos ideales del círculo $(1,\pm i, 0)$", resultando en la fórmula de Laguerre para ángulos. Las distancias en la geometría euclidiana serán todas cero, pero aún es posible comparar una distancia con otra de manera significativa.
Con otras cónicas fundamentales se puede obtener geometría pseudo-euclidiana o geometría espacio-tiempo relativista.
Funciones trigonométricas
Ahora se puede comenzar a investigar la relación entre el logaritmo utilizado en las fórmulas anteriores y las funciones trigonométricas. Para darte una idea aproximada, debes saber que las funciones trigonométricas, así como las funciones hiperbólicas pueden ser definidas utilizando funciones exponenciales:
\begin{align*} \sin x &= \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} & \sinh x &= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \\ \cos x &= \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} & \cosh x &= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \end{align*}
Así que ya son bastante similares. Ambas elecciones de signo ($x$ y $-x$) deben incluirse de manera simétrica, lo cual se relaciona con el hecho de que las fórmulas anteriores solo dan sus resultados hasta el signo. Algunas instancias de la unidad imaginaria indican que elegir constantes como reales o imaginarias puede cambiar entre ambos conjuntos de fórmulas, llevando a funciones hiperbólicas para longitudes pero funciones trigonométricas para ángulos. Y también está ese factor $2$ en el denominador que vemos en nuestras constantes de escala. Así que esto debería transmitir una sensación intuitiva de que todas son esencialmente la misma cosa.
El libro al que hago referencia tiene una sección 21.4 donde profundiza en el establecimiento de esta relación. Comienza expresando el valor del cociente cruzado sin calcular realmente $X$ e $Y$ (o $x$ e $y) primero. Luego aplica una transformación $\alpha\mapsto\frac{\alpha+1}{2\sqrt\alpha}$ a ese cociente cruzado que, por un lado, elimina la distinción entre $X$ e $Y$ (o $\alpha$ y $\alpha^{-1}$ en este punto), y, por otro lado, permite relacionarlo con las funciones trigonométricas a través de $\ln\alpha=2i\arccos\left(\frac{a+1}{2\sqrt\alpha}\right)$.
Entonces en este nivel sería posible transformar una de las formas de la ley del coseno en la otra considerando sistemáticamente las cosas como funciones exponenciales y reemplazando constantes. O se podrían obtener ambas leyes a partir de una ecuación más general expresada en términos de métricas Cayley-Klein. No he hecho ninguno de estos en una moda rigurosa. El libro hace la ley de los senos en la sección 22.5 (que combina medidas de ambos tipos), pero no puedo encontrar una ley del coseno allí en este momento tampoco. Así que espero que entiendas la idea general de esta dualidad, y ya sea confíes en que todos los detalles funcionan bien, o te pongas a hacerlo tú mismo siguiendo las indicaciones que proporcioné.
