Probabilidad que el primer dígito de $2^{n}$ 1

Question

Que $a_{n}$ sea el número de términos en la secuencia $2^{1},2^{2},\cdots ,2^{n}$ que comienza con el dígito 1.

Demostrar que %#% $ #%

Nota: Esto es sólo una parte de la pregunta. La pregunta real es: demostrar que la probabilidad de que potencia al azar de 2 comienza con 1 es $$\log2 -\frac{1}{n}<\frac{a_{n}}{n}<\log2\text{ (log base is 10)}$.

El resto es bastante fácil (una vez he probado la desigualdad anterior). ¿Alguien me podría dar alguna sugerencia para resolver esta pregunta? ¡Gracias!

Answer 1

Sugerencia 1: Demostrar que no es siempre una potencia de 2 que ha $k$ dígitos y comienza con 1. (Para $k=1$, estoy incluyendo a $2^0=1$.) Uso Shreevastsa la sugerencia acerca de los logaritmos.

Sugerencia 2: Mostrar que existe en la mayoría de los 1 potencia de 2, que ha $k$ dígitos y comienza con 1.

Por lo tanto, no son exactamente $k$ potencias de 2 de 1 a $2 \times 10^k$ que comienzan con 1.

Para cualquier $n$, $2^n$ ha $ \lfloor n \log 2 \rfloor $ dígitos, por lo tanto $a_n \leq \lfloor n \log 2 \rfloor$ lo que nos da la RHS.

Para la LHS, muestran que $\lceil n \log 2 \rceil - 1 \leq a_n $