¿Lo que ' s el valor de este producto de Viète-estilo con la proporción áurea?

Question

Una manera de mirar el Viète (Viete?) producto $${2\over\pi} = {\sqrt{2}\over 2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}\over 2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\over 2}\dots$$ es como el infinito producto de una serie de sucesivas 'aproximaciones' a 2, definido por $a_0 = \sqrt{2}$, $a_{i+1} = \sqrt{2+a_i}$ (o más exactamente, su proporción a su límite 2). Esto permite ver que el producto converge; si $|a_i-2|=\epsilon$,$|a_{i+1}-2|\approx\epsilon/2$, por lo que los términos de que el producto vaya como aproximadamente el $(1+2^{-i})$.

Ahora, la secuencia de infinito radicales $a_0=1$, $a_{i+1} = \sqrt{1+a_i}$ converge de manera exponencial la proporción áurea $\phi$, y para el mismo tipo de infinito producto puede ser formado: $$\Phi = {\sqrt{1}\over\phi}{\sqrt{1+\sqrt{1}}\over\phi}{\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}}\over\phi}\dots$$ y un equivalente en la prueba de convergencia. La pregunta es, ¿cuál es el valor de $\Phi$? La prueba usual de Viète del producto por medio del ángulo doble fórmula para que el pecado no se traduce más, y por lo que sé de la logística mapa parece inmensamente improbable que hay alguna función conjugada a la iteración mapa aquí de la misma manera que las funciones trigonométricas son debidamente conjugado a la versión en la Viète producto. Hay otro enfoque que es probable que el trabajo, o es $\Phi$ acaba de raro tiene alguna fórmula más explícita que su infinita producto?

Answer 1

Lo que usted está buscando básicamente es una función $f(x)$ tal que $f(2x)=f^2(x)-1$ y $f(0)=\phi$, desde allí:\begin{align} 2f'(2x)&=2f(x)f'(x)\\\\ \frac{f'(2x)}{f'(x)}&=f(x)\\\\ \frac{f'(x)}{f'(x/2)}&=f(x/2)\\\\ \frac{f'(x)}{f'(x/2^n)}&=\prod_{k=1}^n f(x/2^k) \end {Alinee el} y, dado un valor $x_0$ tal que $f(x_0)=1$,\begin{align} \Phi&=\prod_{k=1}^{\infty} \frac{f(x_0/2^k)}{\phi}\\\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\phi^{-n} \prod_{k=1}^n f(x_0/2^k)\\\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\phi^{-n} \frac{f'(x_0)}{f'(x_0/2^n)}\\\\ &=\lim_{h\rightarrow0}h^\alpha \frac{f'(x_0)}{f'(hx_0)} \end {alinee el}

donde $\alpha=\frac{\ln(\phi)}{\ln(2)}$. Por desgracia, no tengo idea cómo conseguir $f(x)$, y el hecho de que $f(x)=1+O(x^{1+\alpha})$ no facilitan la búsqueda de este look de función fácil.