Hay muchas pruebas elementales para el teorema de Pitágoras, pero no importa utilizar zonas, similitudes, incluso algebraicas pruebas, no es sencillo contar por qué es verdadera remontan a los axiomas (geometría euclidiana). ¿Son equivalentes estas pruebas? ¿Todos ellos el seguimiento a los mismos axiomas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Seguro, el teorema de Pitágoras es un elemento de la teoría de la geometría Euclidiana, y puede ser derivado de la moderna axiomas de la geometría Euclidiana.
Un conjunto completo de la geometría de Euclides los axiomas contiene la información acerca de la similitud y de la zona que son suficientes para demostrar el teorema de Pitágoras "sintéticamente", es decir, directamente a partir de los axiomas. El algebraicas pruebas son un poco diferentes, aunque!
Resulta que después de la definición de los números reales y de álgebra básica, puede crear un modelo de la geometría Euclidiana en $\Bbb R\times \Bbb R$, lo que obedece a que todos los axiomas de Euclides. Las operaciones algebraicas en una prueba algebraica reflejan el sintético de axiomas que se utiliza, pero las conexiones directas no son evidentes. Todavía indirectamente mediante el sintético de axiomas, pero son todo suposiciones ocultas acerca de $\Bbb R\times\Bbb R$ y geometría de coordenadas.
Willemien
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Su Pregunta es mucho más complicado de lo que parece.
Primero un poco de la filosofía:
Son pruebas equivalentes?
¿Qué se entiende por equivalente en relación con las pruebas? (no solo en relación a esta prueba, pero a ninguna prueba)
La geometría de euclides:
Euclides fue un poco carencias con sus Postulados y Nociones Comunes, Los axiomas de su geometría se encuentra sólo en la tarde del 19 de principios del siglo 20 de una manera razonablemente fresco.
ver por ejemplo: (hay muchos más, y aún dentro de estos ejemplos hay diferentes opciones)
- Los axiomas de Hilbert http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_axioms
- Tarski los axiomas de http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski_axioms
PS: asegúrese de utilizar los axiomas de la geometría Euclidiana, usted necesita agregar el paralelo axioma o un axioma que (junto con el resto de los axiomas) puede prueba.
Teorías (y la geometría Euclidiana es una teoría) se definen por sus teoremas (todo lo que sigue a partir de los axiomas y reglas de inferencia), no por sus axiomas, tan diferentes axiomatisations puede dar la misma Teoría. Pero por ser la misma teoría que tiene para la prueba de los mismos teoremas.
Entonces el Teorema de Pitágoras.
Sí, si puedes prueba el Teorema de Pitágoras en cualquier axiomatisation, si nada si no podía probar que no sería la geometría Euclidiana.
No todas pista de nuevo a los mismos axiomas?
No, hay diferentes axiomatisations posible, de modo que no son ni siquiera capaces de rastrear todos de vuelta a la en y el mismo conjunto.
Espero que todo ayuda
Jason Zimba
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Sabyasachi
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Todas las pruebas que he visto hasta ahora trackback el axioma paralelo o los axiomas de la semejanza (que creo que son equivalentes). Me interesaría ver aunque estas prueba "algebraica". Algo probado por álgebra pura solo debe ser universalmente verdadero, que no es así en el caso del teorema de Pitágoras. Debe utilizar geometría (euclidiana) de alguna forma u otra.
