Si usted asume la elección, nada cambia. El estándar de argumento para probar que todo conjunto es bien disponible, y por lo tanto en bijection con un ordinal, todavía se aplica. De ello se desprende que todavía podemos definir cardenales como antes: Un cardenal $\kappa$ es un primer ordinal, es decir, un ordinal no en bijection con alguno de sus elementos.
(La única precaución que necesita es que los ordinales necesita ser definida como transitivo conjuntos bien ordenados por $\in$. Con la fundación, nos podemos relajar el bien orderability condición, y sólo requieren que sean linealmente ordenado por $\in$.)
Sin elección, las cosas se vuelven más interesantes. Esta pregunta, mi respuesta, y los comentarios allí, frente a lo que sucede. El punto es que sin elección no todo está en bijection con un ordinal, por lo que los cardenales deben ser definidos de manera diferente. El enfoque estándar es simplemente decir que dos conjuntos tienen el mismo cardinal si están en bijection el uno con el otro. Podríamos decir, entonces, que la cardinalidad de a $A$ es la colección de todos los conjuntos de $B$ en bijection con $A$, y que un cardenal es la cardinalidad de un conjunto. El problema es que cardinalidades son las propias de las clases (a menos $A=\emptyset$). Podemos solucionar este problema mediante la invocación de Scott truco, que sustituye a una clase adecuada con sus elementos de menor rango. Esto nos da un conjunto, pero, por supuesto, los usos de la fundación. La pregunta que me enlaza le pregunta qué sucede si tenemos ningún fundamento. Aun así, podemos hacer una especie de Scott truco? Como ya comenté por ahí, esto no es posible si en la parte superior de la no elección y no de la fundación que nos permitan una correcta clase de átomos.
Si asumimos Aczel $\mathsf{AFA}$ axioma en lugar de fundación, entonces todavía podemos hacer de Scott truco, es decir, reemplazar cada clase con un subconjunto, por lo que tenemos (más o menos) canónica manera de representar a los cardenales como conjuntos. Los detalles están en el enlace.
En los comentarios, un problema diferente es dirigida, es decir, (aún suponiendo fundación, pero la elección no), ahora requerimos que el cardinal de un conjunto $A$ es un conjunto de bijection con $A$. Pincus demostró que es coherente que esto es posible, y también es coherente que no es posible.
Finalmente, como se puede ver, todavía hay espacio para mejoras, y cualquier observaciones adicionales que se aplican a esa pregunta (sin fundamento o por opción, en virtud de tal-y-tal supuesto, tenemos una versión de Scott truco) podría ser aplicado inmediatamente a una versión de su pregunta (sin fundamento o por opción, en virtud de tal-y-tal suposición, podemos definir los cardenales como se establece a través de la nueva versión de Scott truco).
