Por qué es Klein ' curva cuártica s no hyperelliptic

Question

Deje $X$ ser Klein el cuarto grado de la curva dada por $x^3y + y^3z+z^3x=0$$\mathbf{P}^2$. Es isomorfo a $X(7)$.

¿Cómo puedo demostrar fácilmente que $X$ es no hyperelliptic?

Puedo ver que $X$ es de género $3$, y ha gonality $\leq 3$ (considerar la proyección). Estoy tratando de probar que se ha gonality $3$.

De manera más general, ¿qué es un computacionalmente factible manera de comprobar si la curva es no hyperelliptic?

Tenga en cuenta que realmente no estoy pidiendo un criterio. Por ejemplo, para comprobar si una variedad es normal, usted podría tratar de demostrar que no es regular (que es más fácil para mí).

El más evidente es el de morfismos $X\to \mathbf{P}^1$ grado $3$ Galois? Es decir, ¿tenemos que $X$ es cíclica cubierta de grado $3$?

Answer 1

Para una curva suave $X$ de género $g\geq 3$ (como la cuártica de Klein, que ha de género $g=3$ como se comentó), el criterio que se desea es (Miranda , Cap.VII, Prop. 2.1):

$X$ es no hyperelliptic $\iff$ canónica mapa de $X\to \mathbb P^{g-1}$ es una incrustación.

Concluye recordando que si $X\subset \mathbb P^{g-1} $ ya está integrado como una curva de grado $2g-2$ (pero no se incluyen en un hyperplane), luego de la canónica mapa es una incrustación: Griffiths-Harris, página 247.