Prueba de la desigualdad utilizando AM-GM

Question

Apenas empecé a hacer las desigualdades de AM-GM por primera vez hace cerca de dos horas. En esas dos horas, hice exactamente dos problemas. ¡Estoy atrapado en este tercer! Aquí está el problema:

Si $a, b, c \gt 0$ probar que $$ a^3 +b^3 +c^3 \ge a^2b +b^2c+c^2a.$ $

¡Me estoy volviendo loco por esto! Se agradecería mucho una sugerencia o prueba. También cualquier consejo general para probar la desigualdad de AM-GM me traería felicidad a mi corazón. ¡Gracias!

Answer 1

Uno de los trucos que se muestra mucho con AM-GM desigualdades es aplicar AM-GM varias veces, luego combinarlos todos juntos de alguna manera. Vamos a intentar que. AM-GM nos dice que: $$ x + y + z \geq 3 \sqrt[3]{xyz} \etiqueta{$\star$} $$ Ahora para qué valores de a $x,y,z$ LHS y RHS de $(\star)$ coinciden con algunos de los términos en el LHS y RHS de la desigualdad? En particular, supongamos que queremos que la raíz cúbica a ser $a^2b$. A continuación,$xyz = a^6b^3$, lo que sugiere que tomamos $x = y = a^3$$z = b^3$. La repetición de este, se obtiene: \begin{align*} a^3 + a^3 + b^3 &\geq 3 \sqrt[3]{a^3a^3b^3} = 3a^2b \\ b^3 + b^3 + c^3 &\geq 3 \sqrt[3]{b^3b^3c^3} = 3b^2c \\ c^3 + c^3 + a^3 &\geq 3 \sqrt[3]{c^3c^3a^3} = 3c^2a \\ \end{align*} La suma de las tres anteriores las desigualdades y dividiendo por $3$ rendimientos deseada de la desigualdad. $~~\blacksquare$

Answer 2

Con desigualdad del cambio de $a^2,b^2,c^2$ y $a,b,c$ obtenemos $$aa^2+bb^2+cc^2\ge a^2b +b^2c+c^2a$ $

Answer 3

Usted ya tiene una gran respuesta de @Adriano. El uso de AM-GM aquí, en general, la idea sería observar exponentes en ambos lados y tratar de encontrar una combinación convexa de $(3, 0, 0), (0, 3, 0)$$(0, 0, 3)$, lo que le da un término como $(2, 1, 0)$.

Muirhead, la desigualdad - si usted está familiarizado con él - nos asegura que esto funcionará como $[3, 0, 0] \succ [2, 1, 0]$

Así que usted puede considerar la siguiente ecuación genérica con los no-negativo $\alpha+\beta+\gamma=1$: $$\alpha (3, 0, 0)+\beta (0, 3, 0) +\gamma(0, 0, 3)= (2, 1, 0)$$

Obviamente $\alpha = \frac23, \beta = \frac13, \gamma=0$ viene a la mente. Por lo tanto el básico de la desigualdad a utilizar sería el AM-GM: $$\tfrac23a^3 + \tfrac13b^3 \ge a^2b$$

Sumar tres similares desigualdades obtener el resultado.

Answer 4

$$\color{blue}{a^2(a-b)+b^2(b-c)+c^2(c-a)=(a^2-c^2)(a-b)+(b^2-c^2)(b-c)}$$

$$\color{red}{a\geq b \geq c \implies (a^2-c^2)(a-b)+(b^2-c^2)(b-c) \geq0}$$