¿Si sabemos que la homología racional de X es 0, podemos obtener alguna información acerca de la homología racional de X / G, donde G es un grupo finito? ¡Muchas gracias por las respuestas!
Respuesta
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Al $G$ es finito, de lo racional cohomology de $X/G$ es el punto fijo definido $H^*(X;\mathbb{Q})^G$. Esto es demostrado en Grothendieck de Tohoku de papel (Teorema 5.3.1 y el Corolario de la Proposición 5.3.2).
Así que si el racional cohomology de $X$ es trivial, lo mismo es cierto para $X/G$. Y racional de la cohomology y homología son isomorfos.
Para paracompact espacios de Hausdorff, estos cohomology grupos puede ser llevado a ser la Cech cohomology grupos. Tenga en cuenta que si $X$ es homotopy equivalente a un CW complejo, Cech cohomology de acuerdo con singular cohomology. También puede ser que desee mirar a Oscar Randall-Williams comentarios aquí: http://mathoverflow.net/questions/18898/grothendiecks-tohoku-paper-and-combinatorial-topology/30015#30015.
