¿$f$ es mensurable y es monotónica $g$ $f \circ g$ Lebesgue mensurable es continuo,?

Question

Que $f$ ser una función medible en números verdaderos y $g$ es una función monotónica continua en números verdaderos. ¿Es la función composición $f \circ g$ Lebesgue mensurable? Gracias.

Answer 1

En general, la respuesta es no. Pero si usted tiene una condición adicional que $g^{-1}$ es Lipschitz, la respuesta es sí.

Recordemos que, si $h$ es Lipschitz, $\mu(A) = 0 \Rightarrow \mu(h(A)) = 0$ (puedes probar esto). Ahora podemos expresar como la Unión separada de $f^{-1}(A)$ $B$ y $C$ $B$ Dónde está borel medible y $C$ tienen medida cero. Por lo que tendremos,

$$f \circ g \, (A) = g^{-1}(f^{-1}(A)) = g^{-1}(B \cup C) = g^{-1}(B) \cup g^{-1}(C)$$

$g^{-1}(B)$ es borel y $g^{-1}(C)$ tiene medida cero $g^{-1}$ Lipschitz, ahí demostrando que $f \circ g$ es medible.