Límite de la función de 2 variables

Question

$$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin^2(xy)}{3x^2+2y^2} $$

Si escojo $ x = 0$ me sale:

$$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{0}{2y^2} = 0$$

Así que si el límite existe debe ser $0$

Ahora tengo ${(x,y) \to (0,0)}$ $xy \to 0$

Para que pueda utilizar la serie de Taylor de $sin(t) = t + o(t)$ donde $t \to 0$

$$0 \leq \frac{\sin^2(xy)}{3x^2+2y^2} = \frac{x^2y^2 + 2o(x^2y^2) + o (x^2y^2)}{3x^2 + 2y^2} =$$

$$\frac{x^2y^2 + o (x^2y^2)}{3x^2 + 2y^2} = $$

Ahora puedo usar las coordenadas polares:

$$\frac{\rho^4 \cos^2(\theta)\sin^2(\theta) + o (\rho^4 \cos^2(\theta)\sin^2(\theta))}{3\rho^2 \cos^2(\theta) + 2\rho^2 \sin^2(\theta)}=$$

$$\frac{\rho^2 \cos^2(\theta)\sin^2(\theta)(1 + o (1))}{3 \cos^2(\theta) + 2 \sin^2(\theta)}=$$

$$\frac{\rho^2 \cos^2(\theta)\sin^2(\theta)(1 + o (1))}{3 - 3 \sin^2(\theta) + 2 \sin^2(\theta)}=$$

$$\frac{\rho^2 \cos^2(\theta)\sin^2(\theta)(1 + o (1))}{3 - \sin^2(\theta)}\leq$$

$\frac{\rho^2}{2} \to 0$ for $\rho \to 0$

Me gustaría saber si se soluciona de la manera correcta

Answer 1

tenemos $3x^2+2y^2\geq 2\sqrt{6}|xy|$ de AM-GM, por lo tanto tenemos $\frac{\sin(xy)^2}{2\sqrt{6}|xy|}=\left(\frac{\sin(xy)}{xy}\right)^2\frac{1}{2\sqrt{6}}(xy)->0$ ${x->0,y->0}$ creo que la prueba es aceptable. Puedes leer también mi prueba si quieres, es un poco más corta

Answer 2

O $\sin^2(xy)\leq(xy)^2$ y $3x^2\geq 2x^2$ así $\frac{\sin^2(xy)}{3x^2+2y^2}\leq \frac {(xy)^2}{2(x^2+y^2)}=xy\cdot \frac {xy}{2(x^2+y^2)}\leq xy\cdot \frac {1}{4}\to 0$ porque $\frac {xy}{x^2+y^2}\leq \frac {1}{2}\Leftrightarrow 2xy\leq x^2+y^2\Leftrightarrow 0\leq (x-y)^2$.