¿Puede el producto de dos Gaussianas independientes no gaussiano?

Question

Recientemente hemos discutido esto: Es el producto de dos variables aleatorias Gaussianas también una Gaussiana? Lo que se estableció fue que en el trivial de los casos (es decir, excluyendo el cero y la varianza de Gaussianas, que son funciones delta de Dirac), el producto de variables aleatorias independientes con distribución Gausiana no puede tener una distribución de Gauss. También es fácil llegar con ejemplos de no-Gaussianas independientes cuyo producto no es Gaussiana (por ejemplo, el producto de una Gaussiana con sí mismo).

Pero se puede construir un trivial caso en el que el producto de dos no-independiente de Gauss-distribuido variables aleatorias es también de Gauss? Si es así, es posible hacerlo con una distribución conjunta que es un buen comportamiento de la función, o sólo con uno que es muy discontinua o una generalización de la función?

Como un posible enfoque en la construcción de un ejemplo, supongamos que empezamos con independiente Gaussianas $X_0$$Y_0$), que tienen media 0 y desviación estándar 1. A continuación, $A_0=(10+X_0)(10+Y_0)$ es de aproximadamente Gaussiana. La más notable desviación de Gaussianidad probablemente sería que el $A_0$'s de la distribución será asimétrica. Me imagino que podríamos hacer hasta variables aleatorias $X_1$ $Y_1$ con media 0 y desviación estándar 1, independiente de $X_0$$Y_0$, pero no es independiente de las otras, de tal manera que podamos obtener cero asimetría de $A_1=(10+aX_0+\sqrt{1-a^2}X_1)(10+aY_0+\sqrt{1-a^2}Y_1)$. Continuar de esta manera, podríamos ser capaces de hacer en todos los momentos de $A_n$ han Gaussiano valores como $n\rightarrow\infty$.

Otro enfoque podría ser $X$ a ser de Gauss, y $Y=f(X)$ para algunos la función $f$ tal que $f=f^{-1}$, por lo que el $Y$ tiene la misma distribución que $X$. Parece como si usted tuviera la libertad para hacer las $f$ comportaba mal (tal vez discontinua en todas partes), usted debería ser capaz de hacer $XY$ tiene la distribución deseada.

Answer 1

Aquí es una solución parcial.

Si $(X,Y)$ conjuntamente normal, con $\sigma^2_x \sigma_y^2>0$ (no trivial caso) y $\mu_x=0$ $XY$ no puede ser normal. Si lo fuera, entonces el tercer cumulant de $XY$
$$\kappa_3= 2\, \sigma_x\, \sigma_y(\sigma_y^2\, \sigma_x^2\, \rho^3\, +3\, \sigma_y^2\, \sigma_x^2\, \rho +3\, \sigma_x^2\, \rho\, \mu_y^2 +3\, \sigma_y\, \sigma_x\, \rho^2\, \mu_y\, \mu_x +3\, \sigma_y\, \sigma_x\, \mu_x\, \mu_y +3\, \sigma_y^2\rho\, \mu_x^2)$$ se desvanecerían. Desde $\mu_x=0$ esto lleva a $$0=\rho(\rho^2 \sigma_y^2+3\sigma_y^2+3\mu_y^2).$$ A continuación, $\rho=0$ y estamos de vuelta en el caso independiente.

---

Actualización: Cuanto más lo pienso, más me doy cuenta de que el resultado no es ni plausible. Generalmente hablando, el producto $XY$ es demasiado probable que tome valores cercanos a cero para ser normal, o cualquier otra bonita distribución.

Supongamos que $(X,Y)$ tiene cualquier "buen" bivariante de distribución, con un conjunto de densidad función que es continua y no-cero en el origen. Se argumenta que las $XY$ no puede tener una "buena" de la densidad de cero.

Para $0<u<1$ definir $$A_u=\{(x,y):u^{1/2}<x<u^{1/4},\, 0<y<u/x\}.$$ Estos conjuntos se encogen hacia el origen como $u\to 0$.

Tenemos $$\mathbb{P}(0<XY\leq u)\geq \mathbb{P}((X,Y)\in A_u),$$ y así, dejando $\lambda$ el valor de dos dimensiones de la medida de Lebesgue también $${\mathbb{P}(0<XY\leq u)\más de u} \geq {\mathbb{P}((X,Y)\in A_u)\\lambda(A_u)}\cdot{\lambda(A_u)\más de u} = {\mathbb{P}((X,Y)\in A_u)\\lambda(A_u)}\cdot{\log(1/u)\más de 4}.$$ Como $u\to 0$, el primer factor de la derecha converge a $f_{(X,Y)}(0,0)$ y el segundo golpes. Por lo tanto, el lado izquierdo también sopla hacia arriba, mostrando que $XY$ no puede haber un continuo densidad finita valor en $u=0$.