Probabilidad infinita

Question

A tiene 2 dólares y B tiene 3 dólares. Ellos arrojan una moneda. Si se trata de cabezas un da 1 dólar a B, B da de 1 dólar a un otra manera.

P(Heads) = 1/3

¿Cuál es la probabilidad de ganar de B?

He intentado mucho pero no pude solucionarlo. Me encontré con p (b) = {HH, HTTT, THTT,...}, pero no pude encontrar un patrón para esto.

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que dos jugadores, $A$$B$, $a$ dólares y $b$ dólares respectivamente.

Podemos establecer los siguientes eventos:

• $E_i$: reproductor $B$ gana el total de la fortuna de $a+b$ a partir de con $i$ dólares
• $F$ : reproductor $B$ gana el primer juego

Deje $p_i = \Bbb{P}(E_i)$. Por lo tanto, $p_i$ es la probabilidad de que el jugador $B$ gana el total de la fortuna de $a+b$ a partir de con $i$ dólares. (Vamos a dejar a $i = b$ eventualmente.) Tenga en cuenta que $\{F,\bar{F}\}$ es una partición del espacio muestral. Deje $p=\Bbb{P}(F)$$q=\Bbb{P}(\bar{F})=1-p$. Por lo tanto, por la Ley de la Probabilidad Total $$p_i = \Bbb{P}(E_i|F)\Bbb{P}(F) + \Bbb{P}(E_i|\bar{F})\Bbb{P}(\bar{F})=pp_{i+1}+(1-p)p_{i-1}$$ o $$p_i = pp_{i+1} + qp_{i−1}.\tag 1$$ El $p_{i+1}$ aparece en la fórmula, ya que si el jugador $B$ gana el primer juego, entonces él o ella ha ganado un dólar de reproductor $A$. Del mismo modo, $p_{i−1}$ aparece ya que si el jugador $B$ pierde el primer juego, luego de que él o ella pague reproductor $A$ a un dólar, y por lo tanto tiene un dólar menos. Claramente, $p_0 = 0$ ya que si el jugador $B$ no tiene dinero, entonces él o ella ya está en ruinas. También, $p_{a+b} = 1$ desde el reproductor $B$ no puede ser arruinado si él o ella tiene todo el dinero. Desde $p+q=1$, la ecuación (1) puede escribirse como $pp_i +qp_i= pp_{i+1} + qp_{i−1}$, rendimiento $$p_{i+1} − p_i =\gamma (p_i − p_{i−1})$$ donde ponemos las $\gamma=\frac{q}{p}$.

En particular, $p_2-p_1=\gamma(p_1-p_0)=\gamma p_1$ (desde $p_0 = 0$), por lo que $ p_3 -p_2 = \gamma(p_2 - p_1) = \gamma^2p_1$; y, más generalmente, $$ p_{i+1} − p_i =\gamma^i p_1\qquad \text{para}\; 0<i<a+b $$

Así $$ p_{i+1} − p_1 =\sum_{k=1}^i (p_{k+1} − p_k)=\sum_{k=1}^i\gamma^k p_1 $$ rendimiento $$ p_{i+1} =p_1+p_1\sum_{k=1}^i\gamma^k =p_1 \sum_{k=0}^i\gamma^k= \begin{cases} p_1\frac{1-\gamma^{i+1}}{1-\gamma} & \text{if }p\ne q\\ p_1(i+1) & \text{if }p= q \end{casos} \tag 2 $$ (Aquí estamos usando la suma geométrica $\sum_{k=0}^n a^i=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}$ para cualquier número de $a$ y cualquier entero $n\ge 1$.)

La elección de $i = a+b - 1$ y utilizando el hecho de que $p_{a+b} = 1$ rendimientos $$ 1=p_{a+b}=\begin{cases} p_1\frac{1-\gamma^{a+b}} {1-\gamma}& \text{if }p\ne q\\ p_1(a+b) & \text{if }p= q \end{casos} $$ desde que llegamos a la conclusión de que $$ p_{1} = \begin{cases} \frac{1-\gamma}{1-\gamma^{a+b}} & \text{if }p\ne q\\ \frac{1}{a+b} & \text{if }p= q \end{casos} \etiqueta 3 $$

La combinación de las ecuaciones (2) y (3) da $$ p_{i} = \begin{cases} \frac{1-\gamma^i}{1-\gamma^{a+b}} & \text{if }p\ne q\\ \frac{i}{a+b} & \text{if }p= q \end{casos} $$ o $$ p_{i} = \begin{cases} \frac{1-(q/p)^i}{1-(q/p)^{a+b}} & \text{if }p\ne q\\ \frac{i}{a+b} & \text{if }p= q \end{casos} $$

Así que tomando $i=b$, y para$a=2$$b=3$, tenemos $$ \Bbb{P}(E_b)=p_b= \begin{cases} \frac{1-2^b}{1-2^{a+b}}=\frac{1-2^3}{1-2^{5}}=\frac{7}{31} & \text{if }p=\frac{1}{3},\, q=\frac{2}{3};\gamma=\frac{q}{p}=2\\ \frac{b}{a+b}=\frac{3}{5} & \text{if }p= q=\frac{1}{2} \end{casos} $$ la observación de que $\Bbb{P}(Heads)=\Bbb P(F)$.

Answer 2

Sugerencia. Que $p_i$ (para $i = 0, \dots, 5$) ser la probabilidad de que $B$ gana cuando tiene $i$ de dólares. Así $p_0 = 0$, $p_5 = 1$ y quiero saber $p_3$. Expresar el $p_i$ en de cada uno - (todavía) no trate de averiguar lo son, pero una sacudida en el futuro y expresa $p_i$ $p_{i-1}$ y $p_{i+1}$. Luego resolver el sistema resultante de ecuaciones.

(Nota: esto solo funciona hacia fuera el Markov Chain subyacente explícitamente).