Sabemos que $2^4 = 4^2$$(-2)^{-4} = (-4)^{-2}$. Hay otro par de números enteros $x, y$ ($x\neq y$) que se cumple la igualdad de $x^y = y^x$?
Respuestas
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John Fouhy
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Para cada entero $n$, $x = y = n$ es una solución. Así que supongamos $x \neq y$.
Supongamos $n^m = m^n$. A continuación,$n^{1/n} = m^{1/m}$. Ahora la función de $x \mapsto x^{1/x}$ alcanza su máximo a $e$, y es de otra manera monótona. Así (asumiendo $n < m$) debemos tener $n < e$, es decir, $n = 1$ o $n = 2$.
Si $n = 1$$n^m = 1$$m = 1$, por lo que es una solución trivial.
Si $n = 2$ $n^m$ es una potencia de $2$, y así (desde $m > 0$) $m$ también debe ser una potencia de $2$, decir $m = 2^k$. A continuación,$n^m = 2^{2^k}$$m^n = 2^{2k}$, por lo que el $2^k = 2k$ o $2^{k-1} = k$. Ahora $2^{3-1} > 3$, y tan fácil de inducción muestra que $k \leq 2$. Si $k = 1$$n = m$, e $k = 2$ corresponde a $2^4 = 4^2$.
EDIT: Hasta ahora hemos considerado $n,m>0$. Ahora vamos sobre todos los demás casos. La solución de $n = m = 0$ es trivial (cualquiera sea el valor que le damos a $0^0$).
Si $n=0$$m \neq 0$$n^m = 0$, mientras que de $m^n = 1$, por lo que esta no es una solución.
Si $n > 0$$m < 0$$0 < n^m \leq 1$, mientras que de $|m^n| \geq 1$. Por lo tanto, necesariamente,$n^m = 1$, de modo que $n = 1$. De ello se desprende que $m^1 = 1^m = 1$. En particular, no hay solución con signos opuestos.
Si $n,m < 0$$(-1)^m (-n)^m = n^m = m^n = (-1)^n (-m)^n$, por lo que el $n,m$ debe tener la misma paridad. Tomando inversos, obtenemos $(-n)^{-m} = (-m)^{-n}$, por lo que el $-n,-m$ es una solución para los enteros positivos. El único no-trivial solución positiva $2,4$ rendimientos que el único que no trivial de la negativa de la solución de $-2,-4$.
Justin Walgran
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552
Decir $x^y = y^x$, e $x > y > 0$. Toma de registros, $y \log x = x \log y$; reorganizar, $(\log x)/x = (\log y)/y$. Deje $f(x) = (\log x)/x$; entonces esto es $f(x) = f(y)$.
Ahora, $f^\prime(x) = (1-\log x)/x^2$, lo $f$ es el aumento de $x<e$ y la disminución de $x>e$. Así que si $x^y = y^x$ tiene una solución, entonces se $x > e > y$. Por lo $y$ debe $1$ o $2$. Pero $y = 1$ no funciona. $y=2$ da $x=4$.
(Siempre he pensado en esto como el `estándar" de la solución a este problema y estoy un poco sorprendido de que nadie ha publicado aún).
Si $x > 0 > y$, $0 < x^y < 1$ $y^x$ es un número entero, así que no hay ningún tipo de soluciones.
Si $0 > x > y$, $x^y = y^x$ implica $x$ $y$ debe tener la misma paridad. También, teniendo recíprocos, $x^{-y} = y^{-x}$. A continuación, $(-x)^{-y} = (-y)^{-x}$ desde $x$ $y$ tienen la misma paridad. (El número de factores de $-1$ nos presentó a cada lado difiere por $x-y$, lo que es aún). Así que la solución del problema de $x$ $y$ son negativos, se reduce a la solución de al $x$ $y$ son positivos.
Jorrit Reedijk
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129
Aunque esta cosa ya ha sido contestada, aquí una prueba más corta
Debido a $x^y = y^x $ es simétrica tenemos la primera demanda que $x>y$ A continuación, se procede simplemente de esta manera:
$ x^y = y^x $
$ x = y^{\frac x y } $
$ \frac x y = y^{\frac x y -1} $
$ \frac x y -1 = y^{\frac x y -1} - 1 $
Ahora vamos a ampliar la rhs en su conocida exponencial de la serie
$ \frac x y -1 = \ln(y)*(\frac x y -1) + \frac {((\ln(y)*(\frac x y -1))^2}{2!} + ... $
Aquí la definición de x>y el lado izquierdo es positivo, por lo que si $ \ln(y) $ >=1 nos habíamos lhs $\lt$ hr Por lo tanto $ \ln(y) $ debe ser menor que 1, y el único entero y>1, cuyo registro es menor que 1 es y=2, así que no es la única posibilidad de $y = 2$ y hemos terminado.
[actualización] Bueno, después de haber determinado $y=2$ el mismo procedimiento puede ser utilizado para mostrar, que después de manyally comprobación $x=3$ (imposible) $x=4$ (posible) no $x>4$ puede ser elegido.
Pedimos $x=4^{1+\delta} ,\delta > 0 $ insertar el valor 2 para y:
$ 4^{(1+\delta)*2}=2^{4^{(1+\delta)}} $
Tomar registro de la base 2:
$ (1+\delta)*4=4^{(1+\delta)} $
$ \delta =4^{\delta} - 1 $
$ \delta = \ln(4)*\delta + \frac { (\ln(4)*\delta)^2 }{2!} + \ldots $
$ 0 = (\ln(4)-1)*\delta + \frac { (\ln(4)*\delta)^2 }{2!} + \ldots $
Debido a $ \ln(4)-1 >0 $ esto sólo puede ser satisfecha si $ \delta =0 $
Así que, de hecho, las únicas soluciones, suponiendo que x>y, es $ (x,y) = (4,2)$ .
[actualización]
freespace
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9024
He recogido algunas referencias, siéntase libre de añadir más de ellos. (Algunos de ellos son tomados de otras respuestas. Y, por supuesto, algunos de ellos pueden contener otras referencias interesantes.)
En línea:
Nick Rompecabezas Matemáticos - Solución de rompecabezas de 48: ecuación Exponencial
En Torsten Sillke de la página: http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/x%5Ey-x%5Ey
Ponencias:
Michael A. Bennett y Bruce Reznick: Positivo Soluciones Racionales a $x^y = y^{mx}$ : Un Número de la teoría de la Excursión, La American Mathematical Monthly , Vol. 111, Nº 1 (Ene., 2004), pp 13-21; disponible en jstor, arxiv o autor de la página de inicio.
Marta Sved: En las Soluciones Racionales de $x^y = y^x$, Mathematics Magazine, Vol. 63, Nº 1 (Ene., 1990), páginas 30-33, disponible en jstor. Aquí se menciona, que este problema apareció en 1960 Putnam Competencia (para los números enteros)
F. Gerrish: 76.25 $a^{b}=b^{a}$: El Entero Positivo De La Solución, La Gaceta Matemática, Vol. 76, Nº 477 (Nov., 1992), pág. 403. Jstor enlace
Salomón Hurwitz: En las Soluciones Racionales de $m^n=n^m$$m\ne n$, La American Mathematical Monthly, Vol. 74, Nº 3 (Mar., 1967), pp 298-300. jstor
Joel Anderson: A Afirmar Exponenciales, De La American Mathematical Monthly , Vol. 111, Nº 8 (Oct., 2004), pp 668-679. jstor
R. Arthur Knoebel, Exponenciales, Reiteró. La American Mathematical Monthly , Vol. 88, Nş 4 (Abr., 1981), pp 235-252 jstor, enlace
Libros:
Andrew M. Gleason, R. E. Greenwood, Leroy Milton Kelly: William Lowell Putnam competencia de matemáticas problemas y soluciones 1938-1964, ISBN 0883854287, p.59 y p.538
Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu: Una Introducción a Diophantine Ecuaciones: Un Problema de Enfoque, Springer, Nueva York, 2010. Página 209
Las búsquedas: La razón por la que he añadido esto es que puede ser un poco difícil a la búsqueda de una fórmula o una ecuación. Así que cualquier idea interesante que podría ayudar a encontrar referencias interesantes que pueden ser de interés.
