Vamos $1<p<\infty$, $f\in L^{p}(0,\infty)$ y $$F(x)=\frac{1}{x}\int^{x}_{0}f(t)dt$$ Hardy's inequality states $$|F|_{p}\leq \frac{p}{p-1}|f|_{p}$$
Para mostrar el obligado es fuerte Rudin sugirió el uso de $f(x)=x^{-1/p}$ $[1,A]$ $0$ lo contrario. A continuación, vamos a $A$ ser arbitrally grande. Pero estoy en la pérdida de cómo mostrar este rigor.
Así que tenemos $F(x)=\frac{1}{x}\int^{x}_{1}\frac{1}{t^{1/p}}dt$ $A\ge x\ge 1$ $x<1$ esto es $0$. Para $x> A$ tenemos $$F(x)=\frac{1}{x}\int^{A}_{1}\frac{1}{t^{1/p}}dt$$
Fija la fórmula tenemos $$ \int^{x}_{1}\frac{1}{t^{1/p}}dt=\frac{p}{p-1}t^{\frac{p-1}{p}}|^{x}_{1}=\frac{p}{p-1}(x^{\frac{p-1}{p}}-1) $$
Poniendo juntos hemos $$|F|_{p}=(\int_{1}^{A}F^{p}+\int_{A}^{\infty}F^{p})^{1/p}$$
y la primera mitad es $$C\int^{A}_{0}\frac{1}{x^{p}}(x^{\frac{p-1}{p}}-1)^{p}=C\int^{A}_{1}(x^{-1/p}-1/x)^{p}$$ here $C=(\frac{p}{p-1})^{p}$. The second half is $$C \cdot D^{p} \cdot \int_A^\infty \frac{1}{x^p} \, dx = C \cdot \frac{1}{p-1} \cdot A \cdot \left(A^{-\frac{1}{p}}- \frac{1}{A} \right)^p$$ where $D=(A^{\frac{p-1}{p}}-1)$.
Pero ahora no sé cómo voy a evaluar $$\int^{A}_{1} (x^{-1/p}-1/x)^{p}$$ though it is clear that $x^{-1/p}\ge \frac{1}{x}$ and hence this can be bound from above by $\log[A]$. If we ignore the second part, then first part of the integral is less than $$\frac{p}{p-1}\log[A]^{1/p}$$ whereas the right hand side $$\frac{p}{p-1}|f|_{p}=\frac{p}{p-1}(\int^{A}_{1}\frac{1}{x})^{1/p}=\frac{p}{p-1}\log[A]^{1/p}$$ Pero este hizo caso omiso de la segunda parte. Así que me estoy preguntando cómo solucionarlo.
Lo que quiero mostrar después de la fijación de todas las constantes es $$[\int^{A}_{1}(x^{-1/p}-1/x)^{p}]+\frac{1}{p-1} \cdot A \cdot \left(A^{-\frac{1}{p}}- \frac{1}{A} \right)^p)\le \log[A]$$ Ahora desde $A$ es muy grande la $\frac{1}{A}$ factor es pequeño. De modo que el lado izquierdo de convertirse en $$[\int^{A}_{1}(x^{-1/p}-1/x)^{p}]+\frac{K}{p-1}\le \log[A]$$ where $K$ is some constant that can be arbitrally close to 1 as we select $$. Así que ahora todo lo que necesitamos es probar
$$\int^{A}_{1}(x^{-1/p}-1/x)^{p}\le Log[A]-\frac{1}{p-1}$$ where $Una$ es lo suficientemente grande como constante.
Este problema de la dirección de la misma pregunta después de un diverso sugerencia.
