¿cuál es la diferencia entre un número racional y un número irracional?

Question

Intenté entender la diferencia entre números racionales y números irracionales. Comprendo qué es un número racional (un número que puede expresarse como el cociente de dos números p/q).

¿qué hace que un número irracional sea irracional? ¿cómo se demuestra de forma sencilla que un número irracional es irracional? ¿por qué el hecho de que el cociente de dos números que se pueden dividir por 2 es irracional? (¿tengo razón?)

No pude entender la respuesta elegida en ¿Cuál es la diferencia entre los racionales y los irracionales, topológicamente? así que, por favor, tened en cuenta que mis habilidades y comprensión de las matemáticas son actualmente débiles (understatment) y estoy trabajando para mejorarlas.

Gracias.

Answer 1

Broma (pero cierta): La diferencia entre un número racional y un número irracional es irracional.

Respuesta seria: Su pregunta ya lo expresó. Un número racional se puede escribir $\frac mn$ para algún número entero $m$ y algún número entero positivo $n$ . Un número irracional es un número real que no puede se escriba así.

Para demostrar que un número es racional, el enfoque más común con diferencia es encontrar $m$ y $n$ y demostrar que el número es, de hecho, igual a su razón.

Para demostrar que un número es irracional suele ser bastante más difícil, y se suele hacer utilizando algún tipo de prueba por contradicción. Por ejemplo, los matemáticos tardaron mucho tiempo en demostrar que $\pi$ es irracional. Según https://mathoverflow.net/questions/40145/irrationality-of-pie-pipi-and-epi2 nadie sabe siquiera si $\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$ es un número entero, y mucho menos si es racional (pero casi cualquiera apostaría a que es irracional).

Resulta que en varios sentidos, casi todos Los números reales son irracionales y, de hecho, incluso trascendentales (un tipo de bestia más desagradable). También existen varias técnicas para fabricar grandes cantidades de números irracionales (e incluso trascendentales), pero la mayoría de los números que interesan a la gente son trivialmente racionales, trivialmente algebraicos (no trascendentales) o misteriosos: nadie sabe con certeza si son racionales o irracionales.

En parte, esto se debe a que, mientras que es muy fácil juntar números racionales para obtener más números racionales, no se pueden juntar números irracionales para obtener más números irracionales de muchas maneras. Por ejemplo, la suma o el producto de dos números racionales es siempre racional, pero la suma o el producto de dos números irracionales puede ser racional.

Answer 2

Un número irracional es simplemente un número real que no es racional. En otras palabras, es un número real que no puede escribirse como el cociente de números enteros.

Un ejemplo clásico es el número $\pi$ Intentemos intuir los números irracionales a través de este ejemplo. Puede que estés familiarizado con los primeros dígitos de la expansión decimal de $\pi$ ; \begin {align} \pi = 3.14159 \dots \end {align} Obsérvese que si truncamos esta expansión decimal en cualquier punto, entonces el número resultante es racional. Digamos, por ejemplo, que truncamos en el lugar de las decenas, entonces obtenemos el número $3.1$ que puede escribirse como \begin {align} 3.1 = \frac {31}{10} \end {align} Alternativamente, si cortamos en dos, tres o cuatro dígitos decimales, entonces obtenemos los siguientes números racionales que son mejores y mejores aproximaciones a $\pi$ : \begin {align} 3.14 &= \frac {314}{100} \\ 3.141 &= \frac {3141}{1000} \\ 3.1415 &= \frac {31415}{10000} \end {align} Podemos seguir así, obteniendo cada vez mejores aproximaciones racionales a $\pi$ pero fíjate que nunca podemos llegar a $\pi$ con un número finito de dígitos decimales. Necesitamos la secuencia completa e infinita de dígitos decimales para obtener exactamente el número $\pi$ . En otras palabras, aunque cada vez hay mejores aproximaciones racionales a $\pi$ cada uno de los cuales es un cociente de enteros, no hay manera de escribir exactamente el número $\pi$ como tal proporción.

Answer 3

En primer lugar, el cociente de dos números pares sigue siendo racional, por lo que es incorrecto. En segundo lugar, la prueba de irracionalidad depende del número. Los ejemplos son $\pi, e, \sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 7, \ldots$ ( $\sqrt p$ es irracional si $p$ es primo)

Answer 4

He publicado esta respuesta a una pregunta similar .

La pregunta que citas titulada "¿Cuál es la diferencia entre los racionales y los irracionales - topológicamente?" es realmente sobre un tema algo diferente: no se trata de la diferencia entre un tipo de número y otro, sino de la diferencia entre el conjunto de TODOS los números de un tipo y el conjunto de TODOS los números del otro tipo. Hay que saber algo de topología para entender las respuestas. Pero la pregunta que planteas es más sencilla.

Answer 5

Una forma de pensar en ello es utilizando expansiones decimales, con las que probablemente estés familiarizado. Sea $a$ sea un número, por comodidad consideremos sólo los números entre $0$ y $1$ y considerar la expansión de base 10 $a=0.a_1a_2a_3\dots$ donde cada $a_i$ es un número entero entre $0$ y $9$ . La expansión decimal de un número racional terminará (termina con infinitos $0$ ') o terminar repitiendo la misma cadena finita de números hasta el infinito.

En cambio, un número irracional no terminará y no se repetirá infinitas veces.

Crear un número irracional es entonces fácil, por ejemplo, el número $0.10100100010000100000\dots$ no es racional. Ir en sentido contrario suele ser mucho más difícil, pero hay muchos ejemplos de pruebas de irracionalidad que son bastante accesibles. Puede que quieras leer sobre las pruebas de la irracionalidad de $\sqrt2$ y $\sqrt3$ ya que ambos son bastante sencillos.