Evaluar

Question

Encontrar el límite %#% $ #%

¿Cómo puedo encontrar este límite? Si tuviera que adivinar que diría converge a $$\lim_{x \to \infty} \,\, \sqrt[3]{x^3-1} - x - 2$ pero las cosas habituales como L'Hôpital o factorización inteligente no parecen funcionar en este caso.

Answer 1

Un enfoque simple, sin series de Taylor, es demostrar que $\sqrt[3]{x^3-1}-x\to 0$ usando $$ u-v = \frac{u^3-v^3}{u^2+uv+v^2}$$ with $u=\sqrt[3]{x^3-1}$ and $v=x$. Then use that, for $x > 1, \sqrt [3] {x ^ 3-1} > x-1_$, so $% $ $|\sqrt[3]{x^3-1}-x|<\frac{1}{(x-1)^2+(x-1)x+x^2}$

Ahora la derecha claramente va a cero como $x\to\infty$.

Answer 2

Ajuste del $\dfrac1x=h,$

$$\lim_{x \to \infty} \,\, \sqrt[3]{x^3-1} - x - 2$$

$$=\lim_{h\to0^+}\frac{\sqrt[3]{1-h^3}-1-2h}h$$

Ahora utilizando el método de Thomas Andrews, $$\sqrt[3]{1-h^3}-1-2h=\frac{1-h^3-(1+2h)^3}{(1-h^3)^{\frac23}+(1-h^3)^{\frac13}(1+2h)+(1+2h)^2}$ $

$$=\frac{-6h-12h^2-9h^3}{(1-h^3)^{\frac23}+(1-h^3)^{\frac13}(1+2h)+(1+2h)^2}$$

$$\implies\lim_{h\to0^+}\frac{\sqrt[3]{1-h^3}-1-2h}h$$

$$=\frac1{\lim_{h\to0^+}(1-h^3)^{\frac23}+(1-h^3)^{\frac13}(1+2h)+(1+2h)^2}\cdot\lim_{h\to0^+}\frac{(-6h-12h^2-9h^3)}h$$

$$=\frac1{(1)^{\frac23}+(1)^{\frac13}(1)+(1)^2}(-6)$$

Answer 3

Sugerencia: Es mejor usar la serie. Sin embargo, podemos hacerlo con la manipulación algebraica. Que $a=(x^3-1)^{1/3}$ y que $b=x+2$. Multiplica arriba y abajo (falta) por $a^2+ab+b^2$.

Otra forma: Hacer la sustitución $x=1/t$. Terminamos queriendo $$\lim_{t\to 0^+} \frac{\sqrt[3]{1-t^3} -1-2t}{t}.$ $ ahora ronda un Hospital lo hace.

Answer 4

Tomar a un lado el $-2$, por el momento. Puede utilizar la identidad $$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2), $$ $a=\sqrt[3]{x^3-1}$ y $b=x$. \begin{align} \lim_{x\to\infty}(\sqrt[3]{x^3-1}-x)&= \lim_{x\to\infty} \frac{ (\sqrt[3]{x^3-1}-x) (\sqrt[3]{(x^3-1)^2}+x\sqrt[3]{x^3-1}+x^2) }{\sqrt[3]{(x^3-1)^2}+x\sqrt[3]{x^3-1}+x^2}\\ &= \lim_{x\to\infty}\frac{x^3-1-x^3}{\sqrt[3]{(x^3-1)^2}+x\sqrt[3]{x^3-1}+x^2} \end {Alinee el} y podrás continuar desde aquí. Entonces ponen en $-2$.