Utilizando $\frac{1}{A+i\epsilon} = PV\frac{1}{A}-i\pi\delta(A)$ en integrales de Feynman

Question

Son las siguientes operaciones O. K.? Esto está relacionado con la Feynman parámetro truco.

$$F:= \int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y \frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon}.$$ Usando ahora

$$\frac{1}{A+i\epsilon} = PV\frac{1}{A}-i\pi\delta(A),$$ where $PV$ denota el Valor Principal de Cauchy, obtenemos (tomando sólo la parte imaginaria):

$$\Im{F} = -\pi \int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y\, \delta(f(x,y)) .$$

El problema que yo tengo es que los ceros de $f(x,y)$, lo que yo llamo $y^{\pm}$ parece estar fuera del intervalo de integración y, por tanto, el delta debería dar cero. PERO he aquí lo curioso: cuando me ignoran todo esto y simplemente llevar a cabo la formal cálculos (suponiendo que lo hago correctamente), a saber; la sustitución de $\delta(f(x,y))$ con

$$\frac{1}{\bigl\vert \partial f/\partial y\bigr\vert_{y=y^{\pm}}}\times(\delta(y-y^-)+\delta(y-y^+)),\ \ \ (1)$$

(donde $|\partial f/\partial y|_\pm $ son iguales), y suponiendo que las $y^{\pm}\in[0,1-x]$ (que parece ser falso) los dos deltas acaba de dar a $1+1 = 2$. A continuación, el resultado parece ser correcta, o al menos no se está de acuerdo con lo que he calculado lo mismo con una totalmente diferente método.

Puede todo esto ser simplemente una coincidencia? Me refiero a que no los deltas de producir cero si $y^{\pm}\notin[0,1-x]$, o estoy yo usando la fórmula equivocada $(1)$?

Answer 1

Si está seguro de que $f$ es continua y no se desvanecen en la integración de dominio, no es necesario hacer uso de la regularización de la teoría de distribuciones. Considere la integral inicial:

$$F:= \int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y \frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon}.$$ Puede ser re-escrita como: $$F:= \int_{T} \frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon} \mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$ donde $T$ es el cierre de triángulo: $$ T := \{(x,y) \in [0,1]\times [0,1] \:|\: 0 \leq y \leq 1-x\}\:.$$

Si $f(x,y)$ es continua en a $T$ y no se desvanecen en el mismo, la función de $$[0,1]\times T \ni (\epsilon, x,y) \mapsto \left|\frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon}\right|$$ es continua y por lo tanto limitada. Que nos llame a $M\geq 0$ de su máximo. Podemos concluir que $$\left|\frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon}\right| \leq M\quad \mbox{for every $\epsilon \in [0,1]$ and $(x,y)\in T$.} $$ Como $T$ tiene medida finita, la función constante $T \ni (x,y) \mapsto M$ ha integral de tiempo finito. Por lo tanto, podemos aplicar Lebesgue del teorema de convergencia dominada, que permite intercambiar el símbolo de límite con el de integral y consiguiendo de esta manera: $$\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y \frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon} = \int_T \lim_{\epsilon \to 0^+}\frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_T \frac{1}{f(x,y)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y $$