Distribución de $\sum_{i=1}^d | \mathbf{u}^H \mathbf{F} \mathbf{v}_i |^2$ si $| \mathbf{u}^H \mathbf{F} \mathbf{v}_i |^2$ se distribuye exponencialmente

Question

Dejemos que $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}_i$ ser un $M \times 1$ y $N \times 1$ vectores de norma unitaria, respectivamente. $\mathbf{u}$ es una columna de una matriz unitaria $\mathbf{U}$ y el $\mathbf{v}_i$ son columnas de una matriz unitaria $\mathbf{V}$ . Además, definimos $\mathbf{F}$ como $M \times N$ matriz con i.i.d. $\mathcal{CN}(0,1)$ elementos, lo que significa que $\mathbf{F}$ es un $M \times N$ matriz gaussiana compleja donde cada elemento tiene media cero y varianza unitaria.
Busco la distribución de la siguiente suma $$\sum_{i=1}^d | \mathbf{u}^H \mathbf{F} \mathbf{v}_i |^2, $$ donde $\mathbf{u}^H$ denota el hermitiano de $\mathbf{u}$ .

Sé que cada $| \mathbf{u}^H \mathbf{F} \mathbf{v}_i |^2$ se distribuye exponencialmente con el parámetro $1$ . El problema es que no estoy seguro de si estas variables aleatorias son independientes entre sí.. ¿Alguna idea?

Answer 1

Compruebe si $u^HFv_i$ son independientes de $u^HFv_j$ . Esto debería ser fácil, ya que estas dos variables al ser combinaciones lineales de variables normales son normales, por lo que comprobar la independencia es lo mismo que comprobar si la covarianza es cero. Si las variables son independientes, sus cuadrados también lo serán.

Actualización: Tenemos $Eu^HFv_i=0$ para cada $i$ ya que $EF=0$ . Así,

$$cov(u^HFv_i,u^HFv_j)=Eu^HFv_iv_j^HF^Hu,$$

Ahora bien, como $v_i$ provienen de la matriz unitaria $V$ tenemos que $v_i^Hv_j=0$ . Después de un poco de álgebra es posible ver que esto nos da

$$EFv_iv_j^HF^H=0.$$

La clave es tratar de escribir el elemento de esta matriz y ver que, o bien los productos en ese elemento son cero debido a los elementos iid, o el elemento es cero porque $v_i^Hv_j=0$ .