Esta es una pregunta sobre el producto tensor de módulos.
Cómo mostrar que $$\Bbb Z[x]/\langle f(x) \rangle \otimes_{\Bbb Z} \Bbb Z/p\Bbb Z \cong (\Bbb Z/p\Bbb Z)[x]/\langle f(x) \rangle$$ para cualquier prime $p$ y el polinomio irreducible $f(x)\in\Bbb Z[x]$?
Intento: voy a empezar con el mapa $$\phi:\Bbb Z/p\Bbb Z[x] \to \Bbb Z[x]/\langle f(x) \rangle \otimes_{\Bbb Z} \Bbb Z/p\Bbb Z$$ definido por $$\phi(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n)=1\otimes a_0+x\otimes a_1+\cdots+x^n\otimes a_n.$$ Es fácil mostrar que $\phi$ es un bien definido surjective módulo homomorphism, por lo que es suficiente para mostrar que $$\ker\phi=\langle f(x) \rangle \subset\Bbb{Z}/p\Bbb{Z}[x].$$ Pero esto es donde estoy atascado.Supongamos que $$\phi(a_0+\cdots+a_nx^n)=1\otimes a_0+\cdots+x^n\otimes a_n=(a_0+\cdots+a_nx^n)\otimes 1=0.$$ Estoy tentado a decir que esto implica que $a_0+\cdots+a_nx^n=0\in\Bbb{Z}[x]/\langle f(x)\rangle$, pero no estoy seguro de cómo justificar esto.
