Serie de energía con el % de coeficientes $n!/(n^n)$

Question

Agradecería si alguien me podría decir como obtener el radio de convergencia de la serie de energía mencionada. O, por Cauchy Hadamard, el límite de $(n!/(n^n))^{(1/n)}$ como n acerca a infinito. Gracias, Pablo

Traté de los criterios de cociente, pero puesto que el cociente entre dos coeficientes consecutivos no está limitado por un valor estrictamente menor que 1, no producir un resultado.

Answer 1

Puede utilizar Stirling$$ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ $ para evaluar $$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {n!} {N ^ n} \ right) ^ {1 / n} = \ lim_ { n \ to \ infty} (2 \ pi n) ^ {1 / 2n} e ^ {- 1} = e ^ {-. 1} $$

Answer 2

¿Por "cociente ascendida" hace referencia a Test de cociente de d ' Alembert?

\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} &= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \newline &= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} \newline &= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(n+1)n!n^n}{n!(n+1)^{n+1}} \newline &= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^n}{(n+1)^n} \newline &= (\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{n+1}{n})^n)^{-1} \newline &= (\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n)^{-1} \newline &= e^{-1}< 1 \end{alineado}

Answer 3

$\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{n!\left(n+1\right)^{n+1}}{n^{n}\left(n+1\right)!}=\frac{\left(n+1\right)^{n}}{n^{n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\to e$

así, por la prueba de la razón, el radio de convergencia es $e$.

Answer 4

La Relación de la Prueba es una herramienta fácil de usar para muchos de la radio de convergencia de los problemas que nos encontramos. También funciona muy bien para esto un poco más difícil problema. Los detalles ya han sido publicados.

Si queremos usar lo que usted llama de Cauchy-Hadamard, de lo contrario se conoce como la Raíz de la Prueba, debemos obtener información acerca de $(n!/n^n)^{1/n}$. La Fórmula de Stirling da bastante información precisa sobre el tamaño de $(n!)^{1/n}$. Se trata de un importante presupuesto, y tiene muchos usos.

Para nuestro problema en particular, podemos trabajar con una menor estimación precisa. Las sumas son más conocidos que los productos, por lo tanto, trabajar con $\ln(n!)$. Tenga en cuenta que $$\ln(n!)=\ln 1 + \ln 2 + \cdots +\ln n.$$ La suma de la derecha es bien aproximada por una integral. Más precisamente, $$\int_1^n \ln(x) dx < \ln 1 + \ln 2 + \cdots +\ln n < \int_2^{n+1} \ln(x)dx.$$ Integrar. Después de la manipulación de las desigualdades, nos encontramos con que $(n!/n^n)^{1/n} \to e^{-1}$$n \to\infty$.