Grado de un$k$ - pliegue que cubre proyección es$k$

Question

En Bredon de la Topología y la Geometría, se postula que para que un $k$-pliegue que cubre la proyección $p\colon X \to Y$, $\deg(p)=k$, donde $\deg(p)=k$ El ejemplo dado es de $X$ $3$- dimensiones de la esfera $S^3$ $Y$ la Lente espacio de $L(k,m)$, ambos de los cuales tienen $H_3 = \mathbb Z$.

Así que me gustaría saber de dónde proviene. En el caso de $X=Y=S^1$ es claro, pero ¿y el caso general?

Gracias por poner mi pregunta en TEX, tengo que encontrar a mí mismo, así que va a tomar algún tiempo para editar. Aquí la respuesta corta: Para una función continua $f\colon M \to N$ $M$ $N$ compacto orientado $n$-dimensiones de los colectores, y sus inducida por homológica homomorphism $f_\#$ siguiente es verdadero

$f_\#([M])=\pm deg(f)[N]$, $[M]$ y $[N]$ los generadores de la n-ésima homológica grupos $H_n(M)= H_n(N) = \mathbb Z$.

Answer 1

Creo que esto es más fácil de ver en la dimensión $2$, así que adelante y asumir la $M$$N$, compacto y orientado a las superficies, y deje $f\colon M\to N$ una cubierta mapa de grado $k$. Una manera de visualizar lo que está pasando es como sigue.

En primer lugar, triangular $N$, y hacerlo de tal manera que todos los triángulos son pequeños. Deje $\mathcal{T}$ denota el conjunto de todos los triángulos en esta triangulación. Ahora, debido a que todos los triángulos $T\in \mathcal{T}$ son pequeñas, cuando se mira a $f^{-1}(T)$, que debe consistir en $k$ distintos triángulos. De esta manera, se obtiene una triangulación $\mathcal{S} := f^{-1}(\mathcal{T})$$M$.

El generador de $[M]$ $H_n(M)$ está representado por el $n$-de la cadena de $\sum_{S\in \mathcal{S}} S$. Así, la imagen de $[M]$ bajo$f_\sharp$$\sum_{S\in \mathcal{S}} f_\sharp S$. Desde cada una de las $S\in \mathcal{S}$ se asigna a un triángulo en $\mathcal{T}$, y por otra parte, cada triángulo en $\mathcal{T}$ tiene exactamente $k$ triángulos $S\in \mathcal{S}$ la asignación a, se sigue que $$f_\sharp[M]= \pm\sum_{T\in \mathcal{T}} kT = \pm k\sum_{T\in \mathcal{T}}T = \pm k[N].$$ The sign $\pm$ depends on whether or not $f$ es la orientación preservar o dar marcha atrás.

Por supuesto, la dimensión 2 realmente no importa aquí. Es simplemente más fácil de visualizar triángulos. Espero que esto ayude.