¿Hay números de Bernoulli complejos?

Question

Soy consciente de las generalizado de los números de Bernoulli, pero estos no son lo que estoy buscando. Me preguntaba si existe tal cosa como fraccional, reales o complejos los números de Bernoulli ( $B_z$ $z \in \mathbb{C}$ ).

Mi motivación viene de la Ramanujan Suma, como los números de Bernoulli. Tenía la esperanza de que, si los números de Bernoulli puede ser extendend, por lo que podrían, tal vez, la Ramanujan Suma, permitiendo asignar una suma a una categoría más amplia de la divergencia de la serie.

Answer 1

Ramanujan mismo dio una definición de los números de Bernoulli para un índice complejo - ver Ramanujan Cuadernos - Parte 1 por Bruce C. Berndt, Capítulo 5 la ecuación (25.1) con otros resultados en el Capítulo 7.

---

Añadido por J. M.:

Ramanujan la definición de los números de Bernoulli, como se da en Berndt del libro, es

$$B_s^\ast=\frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s}\zeta(s)$$