Mientras que los límites en el número de clases de isomorfismo de grupos de orden $p^n$ donde $p$ es el prime han sido conocidos por un buen rato (como el trabajo de Higman$^{[1]}$) y Sims$^{[2]}$) que nos dan los límites de $f(n,p)$ (que devuelve el número de clases de isomorfismo de grupos de orden $p^n$) como sigue:
$f(n,p) = p^{An^3} \operatorname{where} A(n,p) = \frac{2}{27} + O(n^{-1/3})$
Sin embargo, mientras que este nos dice que para que un fijo $p$ $f(n,p)$ crece muy rápidamente con la n, cuando he estado leyendo a través de los papeles creo que no tengo el conocimiento suficiente para entender por qué es exactamente lo que debe crecer este rápidamente - por ejemplo, el número de abelian grupos de orden $p^n$ es simplemente el número de particiones de $n$, y este número crece muy rápidamente con la n, este número es pequeño en comparinson para el número de no-abelian grupos del mismo exponente.
Por lo tanto, ¿sería posible que alguien pruebe y me explican algunas de las razones de por qué hay tantos grupos de orden $p^n$ $n>2$ (como es bastante sencillo para clasificar estos grupos para$n=1$$2$), y también por qué hay tantos $p$-grupos cuando en comparación con los grupos de tamaño similar pedido? (Sospecho que a estas dos cuestiones están estrechamente vinculadas en algunos aspectos, es por eso que les pedimos tanto, aunque las respuestas en uno o el otro son igualmente apreciados)
Para aquellos que les gusta, las referencias a los documentos de Higman y Sims son las siguientes:
$[1]$ - Proc. Londres Matemáticas. Soc. (1960) s3-10 (1): 24-30. doi: 10.1112/plms/s3-10.1.24
$[2]$ - Proc. Londres Matemáticas. Soc. (1965) s3-15 (1): 151-166. doi: 10.1112/plms/s3-15.1.151
