Dejemos que $f:A\rightarrow B$ . Demostrar que si $ X\subseteq A$ y $f$ es uno a uno, entonces $f(A)-f(X) \subseteq f(A-X)$ .

Question

Dejemos que $f:A\rightarrow B$ . Demostrar que si $ X\subseteq A$ y $f$ es uno a uno, entonces $f(A)-f(X) \subseteq f(A-X)$ .

¿Podría alguien guiarme en este problema? Me he quedado atascado y no sé si lo que estoy haciendo es correcto. Gracias.

Answer 1

Mi intento: asumir que $y\in f(A)-f(X)$ . Entonces $y\in f(A)$ , $y\not\in f(X)$ . Desde $f$ es suryente sobre $f(A)$ y es inyectiva por definición, sólo existe una $x\in A$ tal que $f(x)=y$ . Ahora bien, si $x\in X$ , $f(x)=y\in f(X)$ que es falso. Por lo tanto, $x\not\in X$ Es decir, $x\in A-X$ y por lo tanto $f(x)\in f(A-X)$ . Esto demuestra que $f(A)-f(X)\subset f(A-X)$ .

Answer 2

Dejemos que $f:A\rightarrow B$ . Demostrar que si $ X\subseteq A$ y $f$ es uno a uno, entonces $f(A)-f(X) \subseteq f(A-X)$ .

Mi intento:

Definición : $f(X)$ = { $y\in B | y=f(x), \exists x\in X $ }

Dejemos que $y\in f(A)-f(X)$ | NTS : $ y\in f(A-X)$

$y\in f(A)$ y $y\notin f(X)$

Aquí es donde no estoy seguro de haber tomado el enfoque correcto;

$\exists x\in A $ tal que $y=f(x)$

pero como $y\notin f(X)$ entonces $ x \notin X$

Así, $x\in A-X$

Por lo tanto, $ y\in f(A-X)$

Answer 3

Esto es en realidad un comentario extenso sobre su intento de responder a su pregunta. En primer lugar, estoy completamente de acuerdo con el consejo de Gustavo de utilizar más palabras y menos símbolos. Una prueba debe ser, en primer lugar, correcta, por supuesto, pero después su principal objetivo debe ser la claridad; normalmente esto significa utilizar suficientes palabras para que el flujo del argumento sea claro para el lector. Así, las dos primeras líneas de tu argumento serían más claras si se escriben así:

Dejemos que $y\in f[A]\setminus f[X]$ queremos demostrar que $y\in f[A\setminus X]$ y sabemos que $y\in f[A]$ y $y\notin f[X]$ .

Tus dos líneas siguientes son contradictorias: por un lado afirmas que hay una $x\in X$ con una determinada propiedad, y por otro dices que esta $x$ no puede estar en $X$ . Creo que tienes la idea básica correcta en mente, pero no la has expresado muy claramente. Creo que esto es lo que intentas transmitir:

Desde $y\in f[A]$ Hay un $x\in X$ tal que $y=f(x)$ . Pero $y\notin f[X]$ Así que $x$ no puede pertenecer a $X$ y por lo tanto $x\in A\setminus X$ . Así, $y=f(x)\in f[A\setminus X]$ , según se desee.

Añadido: Veo que mientras escribía esto, has corregido el problema; lo que tienes ahora es mucho mejor, aunque todavía podría beneficiarse de más "tejido conectivo" verbal. Su prueba es ahora correcta.