Recordemos que un presheaf $C^{op} \to \text{Set}$ es pro-representable si es un cofiltered límite de representable presheaves. La cosa que representa, a grandes rasgos, es un pro-objeto en $C$, es decir, un cofiltered diagrama de objetos en $C$. En mi situación, tengo un functor $C \to \text{Set}$ que es un filtrado colimit de representable functors. La cosa que representa, a grandes rasgos, es también un pro-objeto en $C$. Natural de transformaciones entre tales functors también recuperar la noción usual de morfismos entre los pro-objetos. Aún puedo llamar a este functor pro-representable a pesar de que es un filtrado colimit y no un cofiltered límite?
Respuesta
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Se trata básicamente de un plano functor, que a veces se llama un (a la izquierda) $\mathcal{C}$-torsor. Plana functors $F : \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ tiene la siguiente caracterización primaria:
- Existe un objeto $C$ tal que $F (C)$ está habitada.
- Dado $x \in F (C)$$y \in F (D)$, no existe un objeto $E$, un elemento $z \in F (E)$, y morfismos $E \to C$ $E \to D$ tal que $z$ se asigna a $x$ $y$ (respectivamente).
- Dado $x \in F (C)$, $y \in F (D)$, y un par de morfismos $C \rightrightarrows D$ que ambos envían $x$$y$, existe un objeto $E$, y el elemento $z \in F (E)$, y una de morfismos $E \to C$ tal que $z$ se asigna a $x$.
En resumen, la coma categoría $(y \downarrow F)$ donde $y : \mathcal{C}^\mathrm{op} \to [\mathcal{C}, \mathbf{Set}]$ es el Yoneda la incrustación, se filtra. Así, cada plano functor se produce como un filtrado colimit de representable functors (asumiendo $\mathcal{C}$ es pequeña). Lo contrario es más delicado, pero equivale a mostrar que la categoría de tv de functors es cerrado bajo filtrada colimits en $[\mathcal{C}, \mathbf{Set}]$.
