rotaciones infinitesimales conmutan y cada rotación finita es la composición de rotaciones infinitesimales que lógicamente debe significar también conmutan; pero no lo hacen. ¿Por qué?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Rotaciones infinitesimales no conmutan exactamente si eres lo suficientemente preciso. Un infinitesimal de rotación puede ser escrito como $$ \exp( i a A ) $$ donde $a$ es un infinitesimal "ángulo" y $A$ es una combinación de generadores. Un objeto no conmuta con el análogo objeto de $\exp(ibB)$ en general. En su lugar, $$ \exp(iaA) \exp(ibB) = \exp(ibB) \exp(iaA) \exp(-ab [A,B] + O(a_i^3)) $$ donde $[A,B]=AB-BA$ es la ordinaria "colector" de los operadores es decir, los generadores (de las bases "vectores" $A,B$ de la Mentira álgebra asociada con la Mentira de grupo). La ecuación anterior puede comprobarse cuidadosamente la expansión de la exponenciales en ambos lados para el segundo orden en $a$ o $b$, ignorando cúbicos y un mayor orden de los términos, pero tener cuidado con el orden de $A$ $B$ etc.
El fracaso de las rotaciones infinitesimales para viajar sólo se expresa en un ángulo más pequeño $ab$ que es de segundo orden, pero la acumulación de estos $O(a_i^2)$ términos es lo que hace finito rotaciones "obviamente noncommuting". Por qué? Porque si quieres intercambio de $N$ copias de $\exp(iaA)$ $\exp(iNaA)$ $M$ copias de $\exp(ibB)$$\exp(iNbB)$, usted necesita para hacer de $MN$ similar permutaciones, así, suponiendo que el $Ma$ $Nb$ son finitos, los factores de $MN$ (grande) $ab$ (pequeño) cancelar y se obtiene un número finito de diferencia entre los productos escritos en los pedidos de enfrente.
