En el punto-establecer la topología, siempre se aprende sobre el cuadro de topología: la topología en un infinito producto $X = \prod_{i \in I} X_i$ generado por los conjuntos de la forma $U = \prod_{i \in I} U_i$ donde $U_i \subset X_i$ está abierto. Esto parece ingenuamente como una "buena" de la topología a utilizar para $X$. Sin embargo, uno aprende rápidamente que esto no es así; que el producto de la topología es la natural.
El cuadro de topología tiene muchos extrañas propiedades que hacen que sea una buena fuente de contraejemplos, pero yo no soy consciente de tener otras aplicaciones. Así que me gustaría saber:
Hay ejemplos de uso de la caja de la topología para resultar interesante "positivas" las declaraciones?
Edit: Y para perseguir un comentario de Jim Conant:
Hay "no-artificial" problemas donde el cuadro de la topología surge de forma natural?
Edit: El título es quizás demasiado frívola. No me refiero a minimizar la obvia importancia de la caja de la topología como un contraejemplo. Sin embargo, para el propósito de esta pregunta, estoy interesado en los resultados positivos. No estoy buscando para estar convencidos de que los contraejemplos son útiles; yo sé que ellos son.