Es el cuadro de la topología de la buena para nada?

Question

En el punto-establecer la topología, siempre se aprende sobre el cuadro de topología: la topología en un infinito producto $X = \prod_{i \in I} X_i$ generado por los conjuntos de la forma $U = \prod_{i \in I} U_i$ donde $U_i \subset X_i$ está abierto. Esto parece ingenuamente como una "buena" de la topología a utilizar para $X$. Sin embargo, uno aprende rápidamente que esto no es así; que el producto de la topología es la natural.

El cuadro de topología tiene muchos extrañas propiedades que hacen que sea una buena fuente de contraejemplos, pero yo no soy consciente de tener otras aplicaciones. Así que me gustaría saber:

Hay ejemplos de uso de la caja de la topología para resultar interesante "positivas" las declaraciones?

Edit: Y para perseguir un comentario de Jim Conant:

Hay "no-artificial" problemas donde el cuadro de la topología surge de forma natural?

Edit: El título es quizás demasiado frívola. No me refiero a minimizar la obvia importancia de la caja de la topología como un contraejemplo. Sin embargo, para el propósito de esta pregunta, estoy interesado en los resultados positivos. No estoy buscando para estar convencidos de que los contraejemplos son útiles; yo sé que ellos son.

Answer 1

Un año después, he de alguna manera terminó aquí y Nate comentario que me hizo querer publicar una respuesta (esta respuesta es elaborar dfeuer del comentario). Cuadro de topología es realmente útil para otros propósitos, así como otros que la generación de contra-ejemplos. Uno puede mostrar que en un espacio donde el codominio es un acotado espacio métrico (o, por ejemplo, en $C(X)$ compactas $X$ desde funciones continuas son acotados en conjuntos compactos), tenemos que el sup-métrica de la topología es más grueso que el cuadro de topología. De hecho, si cualquier cosa puede ser mostrado en el Cuadro de topología, a continuación, se aplica también en el uniforme:

Supongamos que tenemos un acotado espacio métrico $(Y,d)$ y cualquier conjunto $J$. Denotar el conjunto de productos como $X=Y^{J}$, que es el conjunto de todas las funciones de $x:J\to Y$. Desde $Y$ está delimitado, podemos considerar que el sup-métrica en $X$ \begin{align*} d_{\sup}(x,y)=\sup_{j\in J}d(x(j),y(j)), \end{align*} que genera una topología $\tau_{\sup}$ con los siguientes elementos para $x\in X$ $\varepsilon>0$ \begin{align*} U(x,\varepsilon)=\{y\in X:\sup_{j\in J}d(x(j),y(j))<\varepsilon\}. \end{align*} Cada Cuadro es-abierto: tome $y\in U(x,\varepsilon)$, de donde $\delta:=\sup_{j\in J}d(x(j),y(j))<\varepsilon$. Elija $r=\frac{\delta+\varepsilon}{2}$, de donde $\delta<r<\varepsilon$. Ahora desde $d(x(j),y(j))\leq \delta < r$ todos los $j$, $y\in \Pi_{j\in J}B(x(j),r)\subset U(x,\varepsilon)$ $\Pi_{j\in J}B(x(j),r)$ es, sin duda cuadro abrir, lo que demuestra que $U(x,\varepsilon)$ es abrir en el Cuadro de topología. Por lo $\tau_{\sup}$, de hecho es más grueso que el cuadro de la topología, ya que cada base de $\tau_{\sup}$ es de caja abierta. Por otra parte tenemos, por definición, de $d_{\sup}$ que $x_{n}\to x$ uniforme (como funciones) si y sólo si $x_{n}\to x$$\tau_{\sup}$.

Answer 2

No hay una respuesta positiva a Jim Conant la consulta. Un sistema de cierre es un conjunto $X$ junto con una colección de $\mathcal{C}$ de los subconjuntos de a $X$ que satisface

1. Tenemos $X \in \mathcal{C}$.
2. Para todos los $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{C}$ tenemos $\cap \mathcal{A} \in \mathcal{C}$.

Para todos los $A \subseteq X$ definir $c(A) = \cap \{ C \in \mathcal{C} \colon A \subseteq C \} $.

Los elementos de $\mathcal{C}$ será llamado cerrado conjuntos. En la práctica, si usted está interesado en este tipo de cosas es mejor cambiar las definiciones para convexa de la estructura y conjunto convexo porque la palabra "cerrado" tiene muchos significados. Las definiciones anteriores son las definiciones estándar. A veces la gente desea $\varnothing$ a ser un conjunto cerrado.

Supongamos que $E \subseteq A \subseteq X$. Vamos a decir que $E$ es un extremo subconjunto de $A$ si y sólo si para todos los $D \subseteq A$ tenemos $E \cap c(D) = E \cap c(E \cap D)$. Si lo desea, puede comprobar que en un verdadero espacio vectorial es equivalente a la noción habitual de un extremo subconjunto.

Supongamos que $A, S \subseteq X$. vamos a decir que $S$ selvages $A$ si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. $A \cap S = \varnothing$.
2. El conjunto $S$ es un extremo subconjunto de $A$.

Uno de los más definición. Supongamos que $O$ es un conjunto cerrado. Vamos a decir que $O$ es selvagable si y sólo si para cada cerrado $D$ que satisface ni $D \cap O$ ni $D \setminus O$ está vacío existe un vacío cerrado $S \subseteq D$ que selvages $O$. El selvagable establece la base para una topología en $X$. Si $X$ es de un número finito de dimensiones reales espacio vectorial y $\mathcal{C}$ es la colección de conjuntos convexos, a continuación, en la topología resultante es la topología usual. Si $\{ \left( X_{i}, {\mathcal{C}}_{i} \right) \colon i \in I \} $. es una colección de sistemas de cierre y ofrecemos $\Pi X_{i}$ con el más pequeño de un sistema de cierre de modo que la imagen inversa de un conjunto cerrado en un factor que se cierra, la selvagable establece en este producto es el cuadro de la topología. Desafortunadamente, este no es un buen topología debido a que la proyección de los mapas no son, en general, continua.

Answer 3

Aquí es una situación en la que el cuadro de topología puede ser útil.

Libre topológicos, grupos son importantes los objetos en general, la topología y álgebra topológica que se remontan a la A. A. Markov. Si bien es conveniente que el subyacente de los grupos son sólo los habituales libre de los grupos, la estructura topológica de los libres (Markov) grupo topológico $F_M(X)$ en un espacio de Tychonoff $X$ es bastante complicado de describir. Por ejemplo, uno podría esperar $F_M(X)$ es el cociente de la libre topológico monoid $\bigoplus_{n\geq 0}(X\oplus \{e\}\oplus X^{-1})^n$ menor a la habitual reducción de palabras, pero este no es el caso, por ejemplo,$X=\mathbb{Q}$! Sin embargo, sería bueno tener una caracterización de estas bestias como el cociente de un poco de espacio con operaciones simples. Una manera de hacer esto es utilizar un determinado $\sigma$-productos con el cuadro de la topología.

En el papel de La topología de libre topológico grupos (una versión en inglés se puede encontrar en la Revista de Ciencias Matemáticas), O. V. Sipacheva da un muy general la caracterización de la topología de libre topológica de los grupos (en Tychonoff espacios) como el cociente de un determinado $\sigma$-producto con el cuadro de la topología. La caracterización es muy útil en la comprensión de la topología de libre topológico grupos; un instructivo párrafo sobre el por qué de esta construcción es apropiada en las páginas 5800 en la versión en inglés.

Answer 4

Puede que yo (más bien tardíamente) sugieren la siguiente situación en la que el cuadro de topologías de hacer una apariencia natural, es decir, en el contexto de análisis funcional. Supongamos que tenemos una colección de espacios de Banach\begin{align*} d_{\sup}(x,y)=\sup_{j\in J}d(x(j),y(j)), \end simplicty voy a suponer que se trata de una secuencia. En el producto Cartesiano podemos considerar tres topologías. El producto de la topología de corrresponds a la habitual localmente convexo producto de la subyacente espacios. Otro de los naturales de la topología es la generada por el producto de la unidad de bolas como unidad de bola---esto se corresponde con el sup-norma. Esto no es una topología lineal en el producto Cartesiano, pero sólo en el subespacio que es absorbido por esta bola. Este es precisamente el $\ell^\infty$-suma (más prosaicamente, la familia de secuencias delimitadas en el producto Cartesiano) que es el producto natural de los espacios en la categoría de los espacios de Banach. Un fenómeno similar ocurre con el cuadro de la topología---no es una topología lineal en el producto Cartesiano. Una vez más, lo más natural es restringir que el mayor subespacio donde es una topología lineal. Esta es precisamente la suma directa de los espacios, es decir, las secuencias que son cero casi eveywhere. Así, los tres naturales de topologías sobre el producto hacen que sea natural para introducir estos tres productos correspondientes a las construcciones en la teoría de localmente convexo espacios. Una vez que uno tiene directa sumas de dinero, entonces es un pequeño paso para el inductivo límites que jugaron y juegan un papel muy importante en la Schwartzian teoría de distributiohs.