Si$G$ es una unión finita de algunos de sus subgrupos abelianos, entonces el índice del centro del grupo es finito

Question

Si$G$ es una unión finita de algunos de sus subgrupos abelianos, entonces el índice del centro del grupo es finito

Me gustaría no simplemente que por el teorema de Lagrange,$Z(G)$ puede dividir en los subgrupos abelianos, y los subgrupos abelianos puede dividir en$G$? Esta solución parece demasiado obvia e intuitiva mal. También no sé cómo abordar la cuestión si$G$ era infinita, gracias!

Answer 1

Un boceto de una prueba es como sigue:

Primero probar que si $H,A_1,\ldots,A_n\leq G$ son abelian subgrupos y $G=H\cup\bigcup_i A_i$, entonces si $H$ tiene una infinidad de índice, a continuación,$G=\bigcup_i A_i$.

Esta es la parte más difícil (aunque agradecería una explicación más simple), yo creo que: para mostrar esto, elegir arbitraria $h\in H$ y el:

1. Aviso que hay algunos $A_i$ tal que $A_i/(A_i\cap H)$ es un infinito abelian grupo, y como tal contiene un infinito cíclico grupo o de una infinita suma directa de grupos cíclicos.
2. En el último caso, tomar una secuencia $g_m$ de los elementos de $A_i$ cuyo clases de generar "ortogonal" cíclico subgrupos de $A_i/(A_i\cap H)$.
3. Luego hay algunos $m$ $g_mh\in A_i$ y hemos terminado o bien hay algo de $A_j$ tal que existen infinitos $m$$g_m h\in A_j$.
4. De lo contrario, sin pérdida de generalidad podemos suponer que todos los $g_mh$ de ellos están en $A_j$ (quitando algunas $g_m$ si es necesario). Por lo tanto, para los distintos $m$, $g_{2m}g_{2m+1}^{-1}=g_{2m}h(g_{2m+1}h)^{-1}\in A_i\cap A_j$ de nuevo generar "ortogonal" cíclico de los subgrupos de cada una de las $A_i/(A_i\cap H),A_j/(A_j\cap H)$.
5. La repetición de este procedimiento que, finalmente, acabar en el "caso" del paso 3. (de lo contrario usted obtener secuencias que pertenecen a más y más de la $A_i$ hasta llegar a uno que está en todos ellos).
6. En caso de que $A_i/(A_i\cap H)$ contiene un infinito subgrupo cíclico, sobre todo la misma cosa, pero el original $g_m$s necesita ser recogido un poco más de cuidado, y que no generan "ortogonal" cíclico subgrupos, pero en lugar de tener la propiedad de que la $g_{m_1}g_{m_2}g_{m_3}\cdot\ldots\cdot g_{m_{2^n}}g_{m_{2^n+1}}^{-1}\cdot\ldots,g_{m_{2^{n+1}}}^{-1}\notin H$ diferentes $m_1,\ldots, m_{2^{n+1}}$, además de todos los más cortos de los productos de forma similar. Elementos cuyas clases son distintas potencia de 2 múltiplos de el generador de infinito cíclico subgrupo va a hacer, por ejemplo.

A continuación, aplicar esto a $G=\bigcup_i A_i$ finito (de la unión) para deducir que se puede asumir que cada una de las $A_i$ ha finito índice.

A continuación, bajo la hipótesis previa, muestran que $\bigcap A_i$ es un índice finito subgrupo de $G$ y que se encuentra en el centro.

Answer 2

No es un resultado inédito de Reinhold Baer (ver Teorema 4.6 en DJS Robinson, las condiciones de finitud y grupos solubles generalizadas, Parte I, Springer Verlag, Nueva York, 1972.)

Un grupo teorema es central-por-finito si y sólo si se trata de la unión de un número finito de subgrupos abelianos.