Dimensiones fractales: ¿se puede calcular algo con ellas?

Question

Varios algoritmos exactos y fórmulas definitorias han sido desarrollados para el cálculo de parámetros llamados 'dimensiones fractales'. Las aplicaciones prácticas de las DF son la evaluación, comparación y clasificación de una sorprendentemente amplia gama de fenómenos naturales.

Aún así, mientras que una DF es un número exacto, no puedo encontrar ningún cálculo -de ninguna cantidad física o matemática directamente mensurable- que tenga una DF como entrada.

¿Cómo es posible que algo tan profundo, simple, exacto y poderoso sea... un callejón sin salida?

Answer 1

La propiedad de dimensión fractal de un material o artefacto nos brinda una medida invariante de escala de la complejidad de su estructura. Mi propia tesis de maestría trabajó (parcialmente) en cuantificar la dimensión fractal de partículas de hollín/ceniza aglomeradas porque, a través de relaciones empíricas, se puede utilizar para establecer límites en propiedades aerodinámicas, y propiedades ópticas como el índice refractivo complejo y coeficientes de absorción/dispersión.

En la ciencia de materiales, se puede, por ejemplo, utilizar para determinar porosidad y permeabilidad de sólidos, cuantificar y analizar la ruptura dieléctrica, determinar características microscópicas del estrés mecánico, y analizar fracturas.

Las aplicaciones fuera de los materiales incluyen ser capaz de comprimir información importante y seleccionar atributos útiles almacenados en grandes conjuntos de datos (incluso multimedia), y incluso ser utilizado para analizar electroencefalogramas para identificar características de trazos demasiado cortos.

También casi hice mi doctorado sobre la relación entre la geometría fractal de los ríos y el riesgo de inundación.

Answer 2

La Dimensión Fractal se utiliza en mi propia investigación sobre EEG como una entrada en una larga serie de entradas que van desde estadísticas de primer y segundo orden hasta diversas métricas de distancia o cantidades en teoría de la información para categorizar diferentes tipos de respuestas de EEG.

Esto es algo muy interesante porque la dimensión fractal te dice aproximadamente la auto-similitud de una señal. Durante la somnolencia, por ejemplo, la señal EEG del cerebro muestra una forma de onda que tiene un comportamiento periódico y auto similar distintivo. La dimensión fractal se calcula usando un breve segmento (aproximadamente 1 segundo) de datos de EEG, que pueden consistir en 256 o incluso más puntos. Imagina esta forma de onda como la Nieve de Koch expandida a una línea. Esta técnica se puede utilizar para medir el estado mental de somnolencia de un piloto de avión, y alerta al centro de comando cuando la dimensión fractal alcanza un cierto umbral.

Este es un aspecto ingenieril de la dimensión fractal.